Estudio de función con valor absoluto: Monotonía, extremos y rectas tangente y normal

Para estudiar la función $f(x) = |x^2 - 4|$, primero debemos desglosar el valor absoluto analizando el signo del polinomio interior $x^2 - 4$. Resolvemos $x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. Analizamos el signo de $x^2 - 4$ en los intervalos definidos por las raíces: - Si $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$, entonces $x^2 - 4 \gt 0$. - Si $x \in (-2, 2)$, entonces $x^2 - 4 \lt 0$. Por tanto, la función definida a trozos es: $$f(x)=\begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x \le -2, \\ 4 - x^2 & \text{si } -2 < x < 2, \\ x^2 - 4 & \text{si } x \ge 2. \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El valor absoluto deja igual lo que es positivo y cambia de signo lo que es negativo: $|A| = A$ si $A \ge 0$ y $|A| = -A$ si $A \lt 0$.

**a) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$ y calcula sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Derivamos la función en cada tramo (excepto en los puntos de unión $x = \pm 2$, donde debemos estudiar la derivabilidad más adelante si fuera necesario, aunque para la monotonía nos basta con los intervalos abiertos): $$f'(x)=\begin{cases} 2x & \text{si } x \lt -2, \\ -2x & \text{si } -2 \lt x \lt 2, \\ 2x & \text{si } x \gt 2. \end{cases}$$ Buscamos los puntos donde $f'(x) = 0$: 1. En $x \lt -2$: $2x = 0 \implies x = 0$ (No pertenece al intervalo). 2. En $-2 \lt x \lt 2$: $-2x = 0 \implies x = 0$ (Sí pertenece). 3. En $x \gt 2$: $2x = 0 \implies x = 0$ (No pertenece). Los puntos críticos para la monotonía son $x = 0$ (donde $f'=0$) y $x = -2, x = 2$ (puntos donde la función no es derivable, llamados puntos angulosos).

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos determinados por los puntos críticos: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & \nexists & + & 0 & - & \nexists & + \\ \hline f(x) & \searrow & \min & \nearrow & \max & \searrow & \min & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, -2)$, $f'(x) = 2x \lt 0 \implies$ **Decreciente**. - En $(-2, 0)$, $f'(x) = -2x \gt 0 \implies$ **Creciente**. - En $(0, 2)$, $f'(x) = -2x \lt 0 \implies$ **Decreciente**. - En $(2, +\infty)$, $f'(x) = 2x \gt 0 \implies$ **Creciente**. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (-2, 0) \cup (2, +\infty) \quad \text{Decrecimiento: } (-\infty, -2) \cup (0, 2)}$$

Basándonos en el cambio de signo de la derivada: 1. En $x = -2$: La función pasa de decrecer a crecer. Hay un **mínimo relativo**. Valor: $f(-2) = |(-2)^2 - 4| = 0$. 2. En $x = 0$: La función pasa de crecer a decrecer. Hay un **máximo relativo**. Valor: $f(0) = |0^2 - 4| = 4$. 3. En $x = 2$: La función pasa de decrecer a crecer. Hay un **mínimo relativo**. Valor: $f(2) = |2^2 - 4| = 0$. 💡 **Tip:** Aunque en $x = \pm 2$ la función no es derivable (puntos angulosos), pueden existir extremos relativos si hay un cambio en el crecimiento y la función es continua allí. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (0, 4) \quad \text{Mínimos relativos en } (-2, 0) \text{ y } (2, 0)}$$

**b) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = -1$.** El punto $x = -1$ se encuentra en el intervalo $(-2, 2)$, donde la función es $f(x) = 4 - x^2$. 1. **Punto de tangencia:** $y_0 = f(-1) = 4 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3$. El punto es $(-1, 3)$. 2. **Pendiente de la tangente ($m_t$):** $f'(x) = -2x \implies m_t = f'(-1) = -2(-1) = 2$. 3. **Pendiente de la normal ($m_n$):** $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{2}$. **Ecuación de la recta tangente:** $y - y_0 = m_t(x - x_0) \implies y - 3 = 2(x + 1) \implies y = 2x + 2 + 3 \implies y = 2x + 5$. **Ecuación de la recta normal:** $y - y_0 = m_n(x - x_0) \implies y - 3 = -\frac{1}{2}(x + 1) \implies y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + 3 \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Recta tangente: } y = 2x + 5 \quad \text{Recta normal: } y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}}$$