Punto de una recta equidistante a dos planos

Para trabajar con un punto genérico de la recta $r$, primero la expresamos en su forma paramétrica. La ecuación continua de la recta es: $$r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{3}$$ Igualando cada fracción a un parámetro $k$, obtenemos las coordenadas de cualquier punto $P$ perteneciente a $r$: $$\begin{cases} x = 1 + 2k \\ y = -1 + k \\ z = 3k \end{cases}$$ Así, un punto genérico de la recta tiene la forma **$P(1 + 2k, -1 + k, 3k)$** para algún valor de $k \in \mathbb{R}$. 💡 **Tip:** En geometría, para hallar puntos específicos de una recta que cumplen una condición, suele ser más sencillo trabajar con su forma paramétrica.

El plano $\pi'$ viene dado por sus ecuaciones paramétricas. Necesitamos su ecuación general ($Ax + By + Cz + D = 0$). Para ello, identificamos un punto $A$ y los vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$: - Punto $A(-3, 0, -6)$ - Vector $\vec{u} = (1, -1, 0)$ - Vector $\vec{v} = (0, 1, -1)$ Calculamos el vector normal $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ mediante el determinante: $$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{n} = [(-1)(-1)\vec{i} + 0\vec{j} + (1)(1)\vec{k}] - [0\vec{k} + 0\vec{i} + (1)(-1)\vec{j}] = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$$ El vector normal es $\vec{n} = (1, 1, 1)$. La ecuación del plano es $1x + 1y + 1z + D = 0$. Sustituimos el punto $A(-3, 0, -6)$: $$(-3) + 0 + (-6) + D = 0 \implies -9 + D = 0 \implies D = 9$$ La ecuación implícita de $\pi'$ es: $$\boxed{\pi' \equiv x + y + z + 9 = 0}$$ 💡 **Tip:** Observa que $\pi$ y $\pi'$ son planos paralelos, ya que tienen el mismo vector normal $(1, 1, 1)$.

Buscamos un punto $P(1 + 2k, -1 + k, 3k)$ tal que la distancia a $\pi$ sea igual a la distancia a $\pi'$. La fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Calculamos ambas distancias: 1. Distancia a $\pi \equiv x + y + z + 3 = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|(1 + 2k) + (-1 + k) + 3k + 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|6k + 3|}{\sqrt{3}}$$ 2. Distancia a $\pi' \equiv x + y + z + 9 = 0$: $$d(P, \pi') = \frac{|(1 + 2k) + (-1 + k) + 3k + 9|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|6k + 9|}{\sqrt{3}}$$ Igualamos las distancias: $$\frac{|6k + 3|}{\sqrt{3}} = \frac{|6k + 9|}{\sqrt{3}} \implies |6k + 3| = |6k + 9|$$

La ecuación con valores absolutos $|a| = |b|$ tiene dos posibles casos: **Caso 1:** $6k + 3 = 6k + 9$ $$3 = 9 \quad \text{(Imposible)}$$ No hay solución en este caso porque los planos son paralelos y el punto no puede estar en el infinito. **Caso 2:** $6k + 3 = -(6k + 9)$ $$6k + 3 = -6k - 9$$ $$12k = -12$$ **$k = -1$** Este valor de $k$ nos dará el punto de la recta que se encuentra exactamente en el plano intermedio a los dos planos dados.

Sustituimos el valor **$k = -1$** en las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ que definimos en el paso 1: - $x = 1 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$ - $y = -1 + (-1) = -2$ - $z = 3(-1) = -3$ Por tanto, el punto buscado es $P(-1, -2, -3)$. **Comprobación:** $d(P, \pi) = \frac{|-1-2-3+3|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ $d(P, \pi') = \frac{|-1-2-3+9|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ Las distancias coinciden, por lo que el resultado es correcto. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(-1, -2, -3)}$$