Estudio de una matriz 2x2 con parámetros

**a) [0’75 puntos] rango($A$) = 1.** El rango de una matriz $2 \times 2$ es 1 si su determinante es igual a cero y al menos uno de sus elementos es distinto de cero. Empezamos calculando el determinante de la matriz $A$: $$\det(A) = \begin{vmatrix} k & 1+k \\ 1-k & 0 \end{vmatrix} = k \cdot 0 - (1+k)(1-k) = -(1-k^2) = k^2 - 1.$$ Para que el rango sea 1, el determinante debe ser nulo: $$k^2 - 1 = 0 \implies k^2 = 1 \implies k = \pm 1.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el determinante de una matriz de orden 2 se calcula como el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria: $ad - bc$.

Comprobamos si para estos valores existe algún elemento no nulo en la matriz: - Si $k = 1$: $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. El rango es 1 porque hay una fila no nula y el determinante es 0. - Si $k = -1$: $A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$. El rango es 1 porque hay una columna no nula y el determinante es 0. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = 1, \quad k = -1}$$ 💡 **Tip:** Si el determinante fuera distinto de cero, el rango de la matriz sería 2. Si todos los elementos fueran cero, el rango sería 0.

**b) [0’75 puntos] $A^2 = A$.** Primero calculamos la matriz $A^2 = A \cdot A$: $$A^2 = \begin{pmatrix} k & 1+k \\ 1-k & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k & 1+k \\ 1-k & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k^2 + (1+k)(1-k) & k(1+k) + (1+k)0 \\ (1-k)k + 0(1-k) & (1-k)(1+k) + 0 \end{pmatrix}$$ Simplificamos los elementos: - $a_{11} = k^2 + (1-k^2) = 1$ - $a_{12} = k + k^2$ - $a_{21} = k - k^2$ - $a_{22} = 1 - k^2$ Por tanto: $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & k + k^2 \\ k - k^2 & 1 - k^2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Ten cuidado al operar con los signos y los productos notables como $(1+k)(1-k) = 1-k^2$.

Igualamos término a término la matriz $A^2$ con la matriz $A$: $$\begin{pmatrix} 1 & k + k^2 \\ k - k^2 & 1 - k^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 1+k \\ 1-k & 0 \end{pmatrix}$$ Esto nos da un sistema de 4 ecuaciones: 1. $1 = k$ 2. $k + k^2 = 1 + k \implies k^2 = 1 \implies k = \pm 1$ 3. $k - k^2 = 1 - k \implies 2k - k^2 - 1 = 0 \implies k^2 - 2k + 1 = 0 \implies (k-1)^2 = 0 \implies k=1$ 4. $1 - k^2 = 0 \implies k^2 = 1 \implies k = \pm 1$ El único valor que satisface las cuatro ecuaciones simultáneamente es $k = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = 1}$$

**c) [0’5 puntos] $A$ tiene inversa.** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($\det(A) \neq 0$). Recuperamos el determinante calculado en el apartado (a): $$\det(A) = k^2 - 1$$ Planteamos la condición: $$k^2 - 1 \neq 0 \implies k^2 \neq 1 \implies k \neq \pm 1$$ Por tanto, la matriz $A$ tiene inversa para cualquier valor real de $k$ excepto para $1$ y $-1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}}$$ 💡 **Tip:** También se puede escribir como $k \neq 1$ y $k \neq -1$.

**d) [0’5 puntos] $\det(A) = -2$.** Igualamos la expresión del determinante obtenida anteriormente al valor $-2$: $$k^2 - 1 = -2$$ Despejamos $k^2$: $$k^2 = -2 + 1$$ $$k^2 = -1$$ Como estamos trabajando con números reales, la ecuación $k^2 = -1$ no tiene solución real. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe ningún valor de } k \in \mathbb{R}}$$ 💡 **Tip:** En los ejercicios de selectividad/bachillerato, salvo que se indique lo contrario, siempre buscamos soluciones en el cuerpo de los números reales.