Integral indefinida mediante cambio de variable

Para resolver la integral, utilizaremos el cambio de variable sugerido en el enunciado: $$t = \sqrt{2x + 1}$$ Para poder sustituir el diferencial $dx$, elevamos al cuadrado ambos miembros para despejar $x$: $$t^2 = 2x + 1 \implies x = \frac{t^2 - 1}{2}$$ Calculamos ahora el diferencial derivando en ambos lados: $$dx = \frac{1}{2} \cdot 2t \, dt = t \, dt$$ 💡 **Tip:** Al realizar un cambio de variable de tipo radical $t = \sqrt{g(x)}$, suele ser más sencillo despejar $x$ antes de derivar para hallar $dx$ en lugar de derivar directamente la raíz.

Sustituimos las expresiones de $t$ y $dx$ obtenidas en la integral original: $$\int \frac{\sqrt{2x + 1}}{2x + 1 + \sqrt{2x + 1}} dx = \int \frac{t}{t^2 + t} (t \, dt)$$ Multiplicamos los términos del numerador: $$\int \frac{t^2}{t^2 + t} dt$$ Podemos simplificar la fracción dividiendo el numerador y el denominador por $t$ (dado que $t = \sqrt{2x+1}$ y el denominador no es nulo en el dominio de la función): $$\int \frac{t^2}{t(t + 1)} dt = \int \frac{t}{t + 1} dt$$

La integral resultante es una integral racional donde el grado del numerador es igual al grado del denominador. Podemos resolverla realizando la división polinómica o sumando y restando $1$ en el numerador: $$\int \frac{t}{t + 1} dt = \int \frac{t + 1 - 1}{t + 1} dt = \int \left( \frac{t+1}{t+1} - \frac{1}{t+1} \right) dt$$ Esto se separa en dos integrales inmediatas: $$\int 1 \, dt - \int \frac{1}{t + 1} dt = t - \ln|t + 1| + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de una función del tipo $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx$ es siempre $\ln|f(x)| + C$.

Finalmente, debemos expresar el resultado en función de la variable original $x$. Para ello, sustituimos de nuevo $t$ por $\sqrt{2x + 1}$: $$I = \sqrt{2x + 1} - \ln|\sqrt{2x + 1} + 1| + C$$ Como $\sqrt{2x + 1} \ge 0$, el término dentro del logaritmo $\sqrt{2x+1} + 1$ es siempre positivo, por lo que podemos prescindir del valor absoluto: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\sqrt{2x + 1} - \ln(\sqrt{2x + 1} + 1) + C}$$