Optimización de la superficie de un cilindro

Para resolver este problema de optimización, primero debemos definir las variables que intervienen en las dimensiones del cilindro: - $r$: radio de la base del cilindro (en dm). - $h$: altura del cilindro (en dm). Queremos minimizar la cantidad de hojalata, que corresponde al **área total de la superficie del cilindro** (incluyendo las dos tapas). La fórmula del área total es: $$S = 2 \cdot \text{Área base} + \text{Área lateral} = 2\pi r^2 + 2\pi r h$$ Sabemos que la capacidad del bote es de **1 litro**. Como $1 \text{ litro} = 1 \text{ dm}^3$, la restricción del volumen es: $$V = \pi r^2 h = 1$$ 💡 **Tip:** Es preferible trabajar en decímetros (dm) para que el volumen sea la unidad ($1$), facilitando los cálculos posteriores.

Despejamos la altura $h$ de la ecuación del volumen para expresar el área $S$ en función de una sola variable ($r$): $$\pi r^2 h = 1 \implies h = \frac{1}{\pi r^2}$$ Sustituimos $h$ en la fórmula de la superficie: $$S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \left( \frac{1}{\pi r^2} \right)$$ $$S(r) = 2\pi r^2 + \frac{2}{r}$$ El dominio de esta función es $r \in (0, +\infty)$, ya que el radio debe ser una dimensión física positiva. $$\boxed{S(r) = 2\pi r^2 + \frac{2}{r}}$$

Para hallar el mínimo de la función $S(r)$, calculamos su primera derivada e igualamos a cero: $$S'(r) = \frac{d}{dr} (2\pi r^2 + 2r^{-1}) = 4\pi r - 2r^{-2} = 4\pi r - \frac{2}{r^2}$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$4\pi r - \frac{2}{r^2} = 0 \implies 4\pi r = \frac{2}{r^2} \implies 4\pi r^3 = 2$$ $$r^3 = \frac{2}{4\pi} = \frac{1}{2\pi}$$ $$r = \sqrt[3]{\frac{1}{2\pi}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $1/x$ es $-1/x^2$. Esto es muy útil en problemas de optimización de recipientes. $$\boxed{r = \sqrt[3]{\frac{1}{2\pi}} \approx 0,542 \text{ dm}}$$

Analizamos el signo de $S'(r)$ a ambos lados del punto crítico para asegurar que se trata de un mínimo relativo: $$\begin{array}{c|ccc} r & (0, \sqrt[3]{1/2\pi}) & \sqrt[3]{1/2\pi} & (\sqrt[3]{1/2\pi}, +\infty) \\ \hline S'(r) & - & 0 & + \\ \hline \text{Monotonía} & \text{Decreciente} & \text{Mínimo} & \text{Creciente} \end{array}$$ También podemos comprobarlo con la segunda derivada: $$S''(r) = 4\pi + \frac{4}{r^3}$$ Como $r \gt 0$, entonces $S''(r) \gt 0$ siempre, lo que confirma que en el punto crítico hay un **mínimo relativo**.

Una vez hallado el radio óptimo $r = \sqrt[3]{\frac{1}{2\pi}}$, calculamos la altura $h$ correspondiente: $$h = \frac{1}{\pi r^2} = \frac{1}{\pi \left(\frac{1}{2\pi}\right)^{2/3}} = \frac{1}{\pi \cdot \frac{1}{(2\pi)^{2/3}}} = \frac{(2\pi)^{2/3}}{\pi} = \frac{2^{2/3} \cdot \pi^{2/3}}{\pi} = 2^{2/3} \cdot \pi^{-1/3}$$ $$h = \sqrt[3]{\frac{2^2}{\pi}} = \sqrt[3]{\frac{4}{\pi}}$$ Observamos una relación interesante: $h = 2 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{2\pi}} = 2r$. Las dimensiones aproximadas en centímetros ($1 \text{ dm} = 10 \text{ cm}$) son: $r \approx 5,42 \text{ cm}$ $h \approx 10,84 \text{ cm}$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{r = \sqrt[3]{\frac{1}{2\pi}} \text{ dm} \approx 5,42 \text{ cm}, \quad h = \sqrt[3]{\frac{4}{\pi}} \text{ dm} \approx 10,84 \text{ cm}}$$