Rectas y planos en el espacio. Paralelismo y perpendicularidad

**a) [1’25 puntos] Halla la ecuación general del plano que pasa por el origen de coordenadas y es paralelo a las rectas dadas.** Para definir un plano paralelo a dos rectas, necesitamos conocer los vectores directores de dichas rectas, ya que estos serán los vectores directores del plano. Calculamos el vector director de la recta $r$ (que pasa por $A$ y $B$): $$\vec{v_r} = \vec{AB} = B - A = (3 - 1, -1 - 1, 1 - 0) = (2, -2, 1)$$ Calculamos el vector director de la recta $s$ a partir de su ecuación implícita. El vector director $\vec{v_s}$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos que definen la recta: $\vec{n_1} = (1, 2, 0)$ y $\vec{n_2} = (0, 1, 1)$. $$\vec{v_s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v_s} = (2 \cdot 1 - 0 \cdot 1)\mathbf{i} - (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)\mathbf{j} + (1 \cdot 1 - 2 \cdot 0)\mathbf{k} = 2\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (2, -1, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada como intersección de dos planos es siempre perpendicular a los vectores normales de dichos planos.

El plano $\pi_1$ pasa por el origen $O(0, 0, 0)$ y es paralelo a $r$ y $s$. Por tanto, su vector normal $\vec{n_{\pi_1}}$ es perpendicular a $\vec{v_r}$ y $\vec{v_s}$. Lo calculamos mediante el producto vectorial: $$\vec{n_{\pi_1}} = \vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos el determinante: $$\vec{n_{\pi_1}} = \mathbf{i}(-2 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(2 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + \mathbf{k}(2 \cdot (-1) - (-2) \cdot 2)$$ $$\vec{n_{\pi_1}} = \mathbf{i}(-2 + 1) - \mathbf{j}(2 - 2) + \mathbf{k}(-2 + 4) = (-1, 0, 2)$$ 💡 **Tip:** El vector normal $(A, B, C)$ define la orientación del plano $Ax + By + Cz + D = 0$.

La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos las componentes del vector normal $\vec{n_{\pi_1}} = (-1, 0, 2)$: $$-1x + 0y + 2z + D = 0 \implies -x + 2z + D = 0$$ Como el plano pasa por el origen $O(0, 0, 0)$: $$-(0) + 2(0) + D = 0 \implies D = 0$$ La ecuación general del plano es: $$\boxed{x - 2z = 0}$$

**b) [1’25 puntos] Halla unas ecuaciones paramétricas del plano que pasa por $B$ y es perpendicular a $s$.** Si un plano es perpendicular a una recta $s$, el vector director de la recta será el vector normal del plano. Del apartado anterior, sabemos que el vector director de $s$ es: $$\vec{v_s} = (2, -1, 1)$$ Por tanto, el vector normal del plano $\pi_2$ es $\vec{n_{\pi_2}} = (2, -1, 1)$. 💡 **Tip:** Perpendicularidad entre recta y plano implica que sus vectores característicos (director y normal) son paralelos.

Primero hallamos la ecuación implícita de $\pi_2$ usando el punto $B(3, -1, 1)$ y el vector normal: $$2(x - 3) - 1(y - (-1)) + 1(z - 1) = 0$$ $$2x - 6 - y - 1 + z - 1 = 0 \implies 2x - y + z - 8 = 0$$ Para obtener las ecuaciones paramétricas, necesitamos el punto $B(3, -1, 1)$ y dos vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{w}$ del plano que sean perpendiculares a $\vec{n_{\pi_2}} = (2, -1, 1)$. Buscamos $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$ tal que $2u_1 - u_2 + u_3 = 0$. Si fijamos $u_1 = 1$ y $u_3 = 0 \implies 2(1) - u_2 + 0 = 0 \implies u_2 = 2$. Así, $\vec{u} = (1, 2, 0)$. Buscamos $\vec{w} = (w_1, w_2, w_3)$ tal que $2w_1 - w_2 + w_3 = 0$. Si fijamos $w_1 = 0$ y $w_3 = 1 \implies 2(0) - w_2 + 1 = 0 \implies w_2 = 1$. Así, $\vec{w} = (0, 1, 1)$. Combinando el punto $B$ y los vectores $\vec{u}$ y $\vec{w}$: $$\boxed{\begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = -1 + 2\lambda + \mu \\ z = 1 + \mu \end{cases}}$$ (Nota: Existen infinitas parametrizaciones correctas dependiendo de los vectores elegidos). 💡 **Tip:** Para pasar de implícita a paramétricas, también puedes despejar una variable (ej. $y = 2x + z - 8$) y asignar parámetros a las otras dos.