Sistema de ecuaciones: Beneficios de empresas

Lo primero es definir las variables que representan el beneficio de cada empresa: - $x$: beneficio de la empresa $A$ (en millones de euros). - $y$: beneficio de la empresa $B$ (en millones de euros). - $z$: beneficio de la empresa $C$ (en millones de euros). Planteamos las ecuaciones según las condiciones generales: 1. La empresa $B$ obtiene lo mismo que $A$ y $C$ juntas: $y = x + z \implies x - y + z = 0$. 2. El beneficio de $A$ es la media aritmética de $B$ y $C$: $x = \dfrac{y + z}{2} \implies 2x - y - z = 0$. 💡 **Tip:** La media aritmética de dos valores es su suma dividida entre dos. El sistema general es: $$\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2x - y - z = 0 \end{cases}$$

**a) [1’5 puntos] Determina si se puede hallar el beneficio de cada empresa sabiendo que $A$ ha obtenido el doble que $C$.** Añadimos la nueva condición: $x = 2z \implies x - 2z = 0$. El sistema resultante es: $$\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2x - y - z = 0 \\ x - 2z = 0 \end{cases}$$ Se trata de un sistema homogéneo (todos los términos independientes son cero). Para ver si tiene una solución única (la trivial $x=y=z=0$) o infinitas soluciones, calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $M$: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix}$$ Calculamos por la regla de Sarrus: $$|M| = [1\cdot(-1)\cdot(-2) + (-1)\cdot(-1)\cdot 1 + 1\cdot 2\cdot 0] - [1\cdot(-1)\cdot 1 + 0\cdot(-1)\cdot 1 + (-2)\cdot 2\cdot(-1)]$$ $$|M| = [2 + 1 + 0] - [-1 + 0 + 4] = 3 - 3 = 0$$ Como $|M| = 0$, el rango de $M$ es menor que 3. Al ser un sistema homogéneo, el Rango de $M$ es igual al Rango de la matriz ampliada ($Rg(M) = Rg(M^*) = 2$, ya que $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$). Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se puede determinar el beneficio exacto de cada empresa, ya que hay infinitas soluciones.}}$$

**b) [1 punto] Calcula el beneficio de cada empresa sabiendo que entre las tres han obtenido 210 millones de euros.** Añadimos la condición de la suma total: $x + y + z = 210$. El sistema es: $$\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2x - y - z = 0 \\ x + y + z = 210 \end{cases}$$ Resolvemos por el método de Gauss: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 210 \end{array}\right)$$ Realizamos operaciones elementales: - $F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1$ - $F_3 \leftarrow F_3 - F_1$ $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 210 \end{array}\right)$$ De la tercera fila ($F_3$): $$2y = 210 \implies y = 105$$ De la segunda fila ($F_2$): $$y - 3z = 0 \implies 105 = 3z \implies z = 35$$ De la primera fila ($F_1$): $$x - y + z = 0 \implies x - 105 + 35 = 0 \implies x = 70$$ 💡 **Tip:** Siempre conviene comprobar que los resultados suman el total indicado: $70 + 105 + 35 = 210$ millones. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A: 70 \text{ millones, } B: 105 \text{ millones, } C: 35 \text{ millones}}$$