Área entre parábola y recta con parámetro

Para delimitar el recinto, primero debemos encontrar los puntos de intersección entre la parábola $f(x) = -x^2 + mx$ y la recta $g(x) = -mx$. Igualamos ambas expresiones: $$-x^2 + mx = -mx$$ Pasamos todos los términos a un lado de la ecuación: $$-x^2 + 2mx = 0$$ Factorizamos la expresión: $$x(-x + 2m) = 0$$ Esto nos da dos soluciones para $x$: 1. $x = 0$ 2. $-x + 2m = 0 \implies x = 2m$ Como el enunciado indica que $m > 0$, sabemos que los puntos de corte se encuentran en el origen y en un valor positivo del eje $X$. 💡 **Tip:** Los puntos de corte definen los límites de integración para el cálculo del área. $$\boxed{x_1 = 0, \quad x_2 = 2m}$$

Para calcular el área, debemos integrar la diferencia entre las funciones en el intervalo $[0, 2m]$. Determinamos cuál de las dos funciones queda por encima en dicho intervalo. Tomamos un punto intermedio, por ejemplo $x = m$: - $f(m) = -m^2 + m(m) = 0$ - $g(m) = -m(m) = -m^2$ Como $m > 0$, entonces $0 \gt -m^2$, por lo que la función $f(x)$ está por encima de la recta $g(x)$ en el recinto. El área $A$ viene dada por: $$A = \int_{0}^{2m} [f(x) - g(x)] \, dx = \int_{0}^{2m} [(-x^2 + mx) - (-mx)] \, dx$$ $$A = \int_{0}^{2m} (-x^2 + 2mx) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área entre dos curvas se calcula como $\int_{a}^{b} (f_{superior} - f_{inferior}) dx$.

Calculamos la integral definida aplicando la regla de Barrow: $$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{2mx^2}{2} \right]_{0}^{2m} = \left[ -\frac{x^3}{3} + mx^2 \right]_{0}^{2m}$$ Evaluamos en los límites: $$A = \left( -\frac{(2m)^3}{3} + m(2m)^2 \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + m(0)^2 \right)$$ $$A = -\frac{8m^3}{3} + 4m^3 = \frac{-8m^3 + 12m^3}{3} = \frac{4m^3}{3}$$ El enunciado nos dice que el área debe ser igual a 36: $$\frac{4m^3}{3} = 36$$ $$4m^3 = 108 \implies m^3 = 27$$ $$m = \sqrt[3]{27} = 3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 3}$$

Con $m = 3$, las funciones son $f(x) = -x^2 + 3x$ y $g(x) = -3x$. - La parábola $f(x)$ tiene sus raíces en $x=0$ y $x=3$, y su vértice en $x=1.5$. - La recta $g(x)$ pasa por el origen $(0,0)$ y por el punto $(6, -18)$. - El recinto está comprendido entre $x=0$ y $x=2m = 6$. A continuación se muestra la representación gráfica del recinto: