Optimización de cercado de un solar rectangular

Para resolver este problema de optimización, primero debemos identificar las variables que definen las dimensiones del solar y la función que queremos minimizar (la longitud total de la valla). Sean: - $x$: la base total del solar rectangular (en metros). - $y$: la altura del solar rectangular (en metros). Según el enunciado, el solar está dividido en 3 parcelas iguales mediante dos separaciones internas paralelas a uno de los lados. Si suponemos que las divisiones son paralelas al lado $y$, la longitud total de la valla $L$ será la suma de los cuatro bordes exteriores del rectángulo más las dos separaciones internas de longitud $y$: $$L = \text{Bordes exteriores} + \text{Separaciones internas}$$ $$L = (2x + 2y) + 2y = 2x + 4y$$ 💡 **Tip:** Identificar correctamente cuántas veces se repite cada lado en el vallado es clave. En este caso, el lado $x$ se valla 2 veces (arriba y abajo) y el lado $y$ se valla 4 veces (izquierda, derecha y las 2 divisiones).

El enunciado nos indica que el área total del solar debe ser de $12\,800 \text{ m}^2$. Esto nos proporciona una ecuación de ligadura: $$A = x \cdot y = 12\,800$$ De esta expresión, podemos despejar una de las variables para expresar la función de longitud $L$ en términos de una sola incógnita. Despejamos $y$: $$y = \frac{12\,800}{x}$$ Dado que las dimensiones deben ser positivas, establecemos el dominio de nuestra función como $x > 0$.

Sustituimos la expresión de $y$ en la función $L(x, y)$: $$L(x) = 2x + 4 \left( \frac{12\,800}{x} \right)$$ $$L(x) = 2x + \frac{51\,200}{x}$$ Ahora tenemos una función $L(x)$ que representa la longitud de la valla en función de la base $x$ del solar. Nuestro objetivo es encontrar el valor de $x$ que minimiza esta función.

Para hallar los extremos de la función, calculamos su primera derivada e igualamos a cero: $$L'(x) = 2 - \frac{51\,200}{x^2}$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$2 - \frac{51\,200}{x^2} = 0 \implies 2 = \frac{51\,200}{x^2}$$ $$2x^2 = 51\,200 \implies x^2 = 25\,600$$ $$x = \sqrt{25\,600} = 160 \text{ m}$$ (Descartamos la solución negativa $x = -160$ por el contexto geométrico del problema). $$\boxed{x = 160 \text{ m}}$$

Para asegurar que $x = 160$ es un mínimo relativo, utilizamos el criterio de la segunda derivada: $$L''(x) = \frac{d}{dx} \left( 2 - 51\,200x^{-2} \right) = 0 - 51\,200 \cdot (-2)x^{-3} = \frac{102\,400}{x^3}$$ Evaluamos en $x = 160$: $$L''(160) = \frac{102\,400}{160^3} > 0$$ Como la segunda derivada es positiva, la función es convexa en ese punto y, por tanto, existe un **mínimo relativo** en $x = 160$.

Calculamos el valor de la otra dimensión $y$: $$y = \frac{12\,800}{160} = 80 \text{ m}$$ Por tanto, las dimensiones del **solar completo** son **$160 \text{ m}$ de base y $80 \text{ m}$ de altura**. Como el solar está dividido en 3 parcelas iguales mediante cortes paralelos al lado de $80 \text{ m}$, la base de cada parcela será: $$\text{Base parcela} = \frac{160}{3} \approx 53,33 \text{ m}$$ ✅ **Dimensiones del solar:** $$\boxed{160 \text{ m} \times 80 \text{ m}}$$ ✅ **Dimensiones de cada parcela:** $$\boxed{\frac{160}{3} \text{ m} \times 80 \text{ m} \approx 53,33 \text{ m} \times 80 \text{ m}}$$