Proyección ortogonal y planos paralelos con área determinada

**a) [1 punto] Halla el punto de $\pi$ más próximo al punto $P(3, 1, 2)$.** El punto de un plano $\pi$ más próximo a un punto exterior $P$ es su **proyección ortogonal** sobre el plano. Para hallarlo, seguiremos estos pasos: 1. Obtenemos el vector normal del plano $\pi$. 2. Construimos una recta $r$ que pase por $P$ y sea perpendicular a $\pi$ (usando el vector normal como vector director). 3. Calculamos el punto de intersección entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Del plano $\pi: x + 2y + z = 1$, extraemos su vector normal: $$\vec{n_\pi} = (1, 2, 1)$$ 💡 **Tip:** El punto más próximo a un plano siempre se encuentra en la recta perpendicular al plano que pasa por dicho punto.

La recta $r$ pasa por $P(3, 1, 2)$ y tiene como vector director $\vec{d_r} = \vec{n_\pi} = (1, 2, 1)$. Sus ecuaciones paramétricas son: $$r: \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = 1 + 2\lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases}$$ Para hallar el punto de intersección $Q$, sustituimos las expresiones de $x, y, z$ de la recta en la ecuación del plano $\pi$: $$(3 + \lambda) + 2(1 + 2\lambda) + (2 + \lambda) = 1$$ Resolvemos la ecuación para $\lambda$: $$3 + \lambda + 2 + 4\lambda + 2 + \lambda = 1$$ $$6\lambda + 7 = 1 \implies 6\lambda = -6 \implies \lambda = -1$$ Sustituimos $\lambda = -1$ en las paramétricas de $r$ para obtener las coordenadas de $Q$: $$x = 3 + (-1) = 2$$ $$y = 1 + 2(-1) = -1$$ $$z = 2 + (-1) = 1$$ ✅ **Resultado (punto más próximo):** $$\boxed{Q(2, -1, 1)}$$

**b) [1’5 puntos] Determina la ecuación de un plano paralelo a $\pi$ que forme con los ejes de coordenadas un triángulo de área $\sqrt{6}$.** Un plano paralelo a $\pi: x + 2y + z = 1$ tendrá la forma: $$\pi': x + 2y + z = D$$ Buscamos los puntos de corte de $\pi'$ con los ejes de coordenadas: - **Eje OX** ($y=0, z=0$): $x + 2(0) + 0 = D \implies x = D \implies A(D, 0, 0)$ - **Eje OY** ($x=0, z=0$): $0 + 2y + 0 = D \implies y = D/2 \implies B(0, D/2, 0)$ - **Eje OZ** ($x=0, y=0$): $0 + 2(0) + z = D \implies z = D \implies C(0, 0, D)$ El triángulo está formado por los vértices $A, B$ y $C$.

El área del triángulo definido por los puntos $A, B$ y $C$ se calcula como la mitad del módulo del producto vectorial de dos vectores que partan del mismo vértice, por ejemplo $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{AB} = B - A = (-D, D/2, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (-D, 0, D)$$ Calculamos el producto vectorial $\vec{w} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el determinante: $$\vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -D & D/2 & 0 \\ -D & 0 & D \end{vmatrix} = \vec{i} \left| \begin{matrix} D/2 & 0 \\ 0 & D \end{matrix} \right| - \vec{j} \left| \begin{matrix} -D & 0 \\ -D & D \end{matrix} \right| + \vec{k} \left| \begin{matrix} -D & D/2 \\ -D & 0 \end{matrix} \right|$$ $$\vec{w} = \left( \frac{D^2}{2} \right) \vec{i} - (-D^2) \vec{j} + \left( \frac{D^2}{2} \right) \vec{k} = \left( \frac{D^2}{2}, D^2, \frac{D^2}{2} \right)$$ 💡 **Tip:** El área de un triángulo con vértices $P, Q, R$ es $\frac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}|$.

Calculamos el módulo del vector resultante: $$|\vec{w}| = \sqrt{\left(\frac{D^2}{2}\right)^2 + (D^2)^2 + \left(\frac{D^2}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{D^4}{4} + D^4 + \frac{D^4}{4}} = \sqrt{\frac{6D^4}{4}} = \frac{D^2 \sqrt{6}}{2}$$ El área del triángulo es: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{w}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{D^2 \sqrt{6}}{2} = \frac{D^2 \sqrt{6}}{4}$$ Igualamos al valor dado en el enunciado, $\sqrt{6}$: $$\frac{D^2 \sqrt{6}}{4} = \sqrt{6} \implies D^2 = 4 \implies D = \pm 2$$ Existen dos planos posibles que cumplen la condición. ✅ **Resultado (ecuaciones de los planos):** $$\boxed{x + 2y + z = 2 \quad \text{y} \quad x + 2y + z = -2}$$