Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) [1’5 puntos] Discute el sistema según los valores de $m$.** Para discutir el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**. Primero, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -1 & m + 2 & m \\ 1 & 1 & m + 2 \end{pmatrix} ; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 1-m \\ -1 & m+2 & m & m \\ 1 & 1 & m+2 & 7 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ para ver cuándo su rango es máximo (3): $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -1 & m + 2 & m \\ 1 & 1 & m + 2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus o desarrollamos por filas/columnas. En este caso, restamos la primera fila a la tercera ($F_3 - F_1 \to F_3$) para facilitar el cálculo: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -1 & m + 2 & m \\ 0 & 0 & m \end{vmatrix} = m \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & m+2 \end{vmatrix} = m(m+2 - (-1)) = m(m+3)$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$m(m+3) = 0 \implies m = 0 \quad \text{y} \quad m = -3$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos dice que si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = n$ (nº incógnitas), el sistema es compatible determinado.

Analizamos el sistema para los distintos valores de $m$ hallados: **Caso 1: $m \neq 0$ y $m \neq -3$** En este caso, $|A| \neq 0$. Por tanto, $\text{rang}(A) = 3$. Como el rango de la ampliada no puede ser mayor que 3 y el número de incógnitas es 3: $$\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 3 = n \implies \textbf{Sistema Compatible Determinado (SCD)}$$ El sistema tiene una **solución única**. **Caso 2: $m = 0$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 7 \end{array}\right)$$ Notamos que $F_1$ y $F_3$ tienen los mismos coeficientes pero distinto término independiente ($1 \neq 7$). Esto indica que el sistema será incompatible. Formalmente: - $\text{rang}(A) = 2$ (ya que $|A|=0$ y el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 3 \neq 0$). - Calculamos el rango de $A^*$ usando el menor con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 7 \end{vmatrix} = (14 + 0 - 1) - (2 + 0 - 7) = 13 - (-5) = 18 \neq 0 \implies \text{rang}(A^*) = 3$$ Como $\text{rang}(A) \neq \text{rang}(A^*)$, el **Sistema es Incompatible (SI)**. **Caso 3: $m = -3$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 4 \\ -1 & -1 & -3 & -3 \\ 1 & 1 & -1 & 7 \end{array}\right)$$ - $\text{rang}(A) = 2$ (pues $|A|=0$, $C_1=C_2$ y el menor $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -3 \end{vmatrix} = -3+2 = -1 \neq 0$). - Comprobamos el rango de $A^*$ con el menor formado por $C_2, C_3$ y $C_4$: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \\ 1 & -1 & 7 \end{vmatrix} = (-21 - 6 + 4) - (-12 + 3 - 14) = -23 - (-23) = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son cero, $\text{rang}(A^*) = 2$. Como $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 < 3$, el **Sistema es Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} m \neq 0, -3 \implies \text{SCD} \\ m = 0 \implies \text{SI} \\ m = -3 \implies \text{SCI} \end{cases}}$$

**b) [1 punto] Resuelve el sistema para $m = -3$ y determina en dicho caso, si existe, una solución en la que $x = 2$.** Para $m = -3$, sabemos que el sistema es SCI y el rango es 2. Usamos las ecuaciones 1 y 3 (que son linealmente independientes): $$\begin{cases} x + y + 2z = 4 \\ x + y - z = 7 \end{cases}$$ Restamos las ecuaciones para eliminar $x$ e $y$: $$(x + y + 2z) - (x + y - z) = 4 - 7 \implies 3z = -3 \implies z = -1$$ Sustituimos $z = -1$ en la primera ecuación: $$x + y + 2(-1) = 4 \implies x + y - 2 = 4 \implies x + y = 6$$ Si parametrizamos haciendo $y = \lambda$, obtenemos la solución general: $$\begin{cases} x = 6 - \lambda \\ y = \lambda \\ z = -1 \end{cases} \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}$$ 💡 **Tip:** En un SCI con rango 2 y 3 incógnitas, las soluciones dependen de un solo parámetro ($3-2=1$ grado de libertad).

Nos preguntan si existe una solución donde $x = 2$. Usamos la expresión de $x$ en función de $\lambda$: $$x = 6 - \lambda \implies 2 = 6 - \lambda \implies \lambda = 4$$ Si $\lambda = 4$, entonces: - $x = 2$ - $y = 4$ - $z = -1$ Comprobamos que estos valores cumplen el sistema original para $m = -3$: 1) $2 + 4 + 2(-1) = 4 \quad (6-2=4, \text{correcto})$ 2) $-2 - 4 - 3(-1) = -3 \quad (-6+3=-3, \text{correcto})$ 3) $2 + 4 - (-1) = 7 \quad (6+1=7, \text{correcto})$ ✅ **Resultado (Solución):** $$\boxed{\text{Existe solución para } x=2 \text{ y es: } (x,y,z) = (2, 4, -1)}$$