Integral definida con parámetro

Para resolver la integral $\int \frac{x}{2 + x^2} dx$, observamos que el numerador es casi la derivada del denominador. La derivada de $2 + x^2$ es $2x$. Para obtener esta expresión en el numerador, multiplicamos y dividimos por $2$: $$\int \frac{x}{2 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{2 + x^2} dx$$ Esta integral es de tipo logarítmico, cuya solución es del tipo $\ln|f(x)|$: $$\frac{1}{2} \ln|2 + x^2| + C$$ Como $2 + x^2$ siempre es positivo para cualquier valor de $x$ real, podemos prescindir del valor absoluto. 💡 **Tip:** Recuerda que las integrales de la forma $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C$ son fundamentales en el cálculo de primitivas.

Aplicamos la Regla de Barrow para evaluar la integral definida en el intervalo $[0, a]$: $$\int_{0}^{a} \frac{x}{2 + x^2} dx = \left[ \frac{1}{2} \ln(2 + x^2) \right]_0^a$$ Sustituimos los límites de integración: $$\left( \frac{1}{2} \ln(2 + a^2) \right) - \left( \frac{1}{2} \ln(2 + 0^2) \right)$$ $$\frac{1}{2} \ln(2 + a^2) - \frac{1}{2} \ln(2)$$ Utilizando las propiedades de los logaritmos (resta de logaritmos es el logaritmo del cociente): $$\frac{1}{2} \left( \ln(2 + a^2) - \ln(2) \right) = \frac{1}{2} \ln\left( \frac{2 + a^2}{2} \right)$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es una primitiva de $f$.

Igualamos el resultado obtenido al valor dado en el enunciado, que es $1$: $$\frac{1}{2} \ln\left( \frac{2 + a^2}{2} \right) = 1$$ Multiplicamos por $2$ ambos lados: $$\ln\left( \frac{2 + a^2}{2} \right) = 2$$ Para eliminar el logaritmo neperiano, aplicamos la función exponencial en ambos miembros: $$\frac{2 + a^2}{2} = e^2$$ Despejamos $a^2$: $$2 + a^2 = 2e^2$$ $$a^2 = 2e^2 - 2$$ $$a^2 = 2(e^2 - 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\ln(x) = y \iff x = e^y$ por la propia definición de logaritmo neperiano.

Calculamos la raíz cuadrada para hallar el valor de $a$: $$a = \pm \sqrt{2(e^2 - 1)}$$ El enunciado especifica que $a > 0$, por lo que descartamos la solución negativa y nos quedamos con el valor positivo: $$a = \sqrt{2(e^2 - 1)}$$ Este es el valor exacto pedido. Si calculamos su aproximación decimal, obtenemos $a \approx 3.574$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = \sqrt{2(e^2 - 1)}}$$