Cálculo de parámetros en una función exponencial

**Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = (e^{ax} + b)x$, con $a \neq 0$. Calcula $a$ y $b$ sabiendo que $f$ tiene un extremo relativo en $x = 0$ y su gráfica, un punto de inflexión en el punto cuya abscisa es $x = 1$.** Dada la función $f(x) = (e^{ax} + b)x$, para trabajar de forma más cómoda, desarrollamos la expresión aplicando la propiedad distributiva: $$f(x) = x e^{ax} + bx$$ Para aplicar las condiciones del enunciado, necesitamos obtener la primera y segunda derivada de la función. Calculamos la **primera derivada** utilizando la regla del producto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ para el término $x e^{ax}$: $$f'(x) = (1) \cdot e^{ax} + x \cdot (a e^{ax}) + b = e^{ax}(1 + ax) + b$$ Calculamos la **segunda derivada** derivando de nuevo el término que contiene la exponencial: $$f''(x) = (a e^{ax})(1 + ax) + e^{ax}(a) + 0 = a e^{ax}(1 + ax + 1) = a e^{ax}(ax + 2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{ax}$ es $a e^{ax}$ por la regla de la cadena, y la derivada de una constante multiplicada por $x$ es simplemente la constante.

Se nos indica que la función tiene un **extremo relativo en $x = 0$**. Para que esto ocurra, la primera derivada debe anularse en dicho punto, es decir, $f'(0) = 0$. Sustituimos $x = 0$ en la expresión hallada para $f'(x)$: $$f'(0) = e^{a(0)}(1 + a(0)) + b = 0$$ $$e^0(1 + 0) + b = 0$$ $$1(1) + b = 0 \implies 1 + b = 0$$ Resolviendo para $b$: $$\boxed{b = -1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que cualquier número real (distinto de cero) elevado a 0 es igual a 1 ($e^0 = 1$).

Se indica que la gráfica tiene un **punto de inflexión en $x = 1$**. En un punto de inflexión de una función derivable, la segunda derivada debe ser igual a cero ($f''(1) = 0$). Sustituimos $x = 1$ en la expresión de $f''(x)$: $$f''(1) = a e^{a(1)}(a(1) + 2) = 0$$ $$a e^a (a + 2) = 0$$ Para que este producto sea cero, alguno de sus factores debe serlo: 1. $a = 0$: Descartado por el enunciado ($a \neq 0$). 2. $e^a = 0$: Imposible, la función exponencial nunca es cero. 3. $a + 2 = 0$: Única solución posible. Por tanto: $$a + 2 = 0 \implies \boxed{a = -2}$$ 💡 **Tip:** En el cálculo de parámetros, siempre debemos comprobar si existen restricciones en el enunciado (como $a \neq 0$) que invaliden alguna solución matemática.

Aunque ya tenemos los valores, verificamos que para $a = -2$, realmente hay un punto de inflexión en $x = 1$ mediante el estudio del signo de $f''(x)$. Sustituyendo $a = -2$ en la segunda derivada: $$f''(x) = -2 e^{-2x}(-2x + 2) = 4 e^{-2x}(x - 1)$$ **Tabla de signos de $f''(x)$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline 4e^{-2x} & + & + & + \\ x-1 & - & 0 & + \\ \hline f''(x) & - & 0 & + \end{array}$$ Como existe un cambio de signo en $f''(x)$ al pasar por $x = 1$, la curvatura cambia y efectivamente se trata de un punto de inflexión. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -2, \quad b = -1}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = (e^{-2x}-1)x", "color": "#2563eb" }, { "id": "p1", "latex": "(0, 0)", "label": "Máximo relativo", "showLabel": true, "color": "#ef4444" }, { "id": "p2", "latex": "(1, f(1))", "label": "Punto de Inflexión", "showLabel": true, "color": "#16a34a" } ], "bounds": { "left": -0.5, "right": 2.5, "bottom": -1.5, "top": 0.5 } } }