Geometría en el espacio: Rectángulos y áreas

**a) [0’75 puntos] Halla unas ecuaciones paramétricas de $r$.** En un rectángulo $ABCD$, los lados opuestos son paralelos. Por tanto, el segmento $AB$ es paralelo al segmento $CD$. Como la recta $r$ contiene a los puntos $C$ y $D$, el vector director de la recta $r$ ($\vec{v}_r$) debe ser paralelo al vector $\vec{AB}$. Calculamos el vector $\vec{AB}$: $$\vec{AB} = B - A = (2-1, 2-1, 1-0) = (1, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si dos rectas son paralelas, sus vectores directores son proporcionales. En un rectángulo, los lados opuestos definen direcciones idénticas. $$\vec{v}_r = (1, 1, 1)$$

El enunciado nos indica que la recta $r$ pasa por el origen de coordenadas $O(0, 0, 0)$. Utilizando el punto $O$ y el vector director $\vec{v}_r = (1, 1, 1)$, las ecuaciones paramétricas son: $$r \equiv \begin{cases} x = 0 + 1\lambda \\ y = 0 + 1\lambda \\ z = 0 + 1\lambda \end{cases} \implies \begin{cases} x = \lambda \\ y = \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado (Ecuaciones paramétricas):** $$\boxed{r \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = \lambda \\ z = \lambda \end{cases}}$$

**b) [1 punto] Calcula el área del triángulo $ABC$.** Para calcular el área del triángulo $ABC$, primero necesitamos hallar el punto $C$. Sabemos que: 1. El punto $C$ pertenece a la recta $r$, por lo que sus coordenadas son de la forma $C(\lambda, \lambda, \lambda)$. 2. Al ser un rectángulo, los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{BC}$ deben ser perpendiculares (ortogonales), es decir, su producto escalar debe ser cero. Calculamos el vector $\vec{BC}$: $$\vec{BC} = C - B = (\lambda - 2, \lambda - 2, \lambda - 1)$$ Planteamos la condición de perpendicularidad $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0$: $$(1, 1, 1) \cdot (\lambda - 2, \lambda - 2, \lambda - 1) = 0$$ $$1(\lambda - 2) + 1(\lambda - 2) + 1(\lambda - 1) = 0$$ $$\lambda - 2 + \lambda - 2 + \lambda - 1 = 0 \implies 3\lambda - 5 = 0 \implies \lambda = \frac{5}{3}$$ Por tanto, el punto $C$ es: $$C\left(\frac{5}{3}, \frac{5}{3}, \frac{5}{3}\right)$$ 💡 **Tip:** En un rectángulo, el producto escalar de los vectores que forman un vértice siempre es 0 porque forman un ángulo de $90^\circ$.

El área del triángulo $ABC$ se calcula como la mitad del módulo del producto vectorial de los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{BC}$: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{BC}|$$ Primero, calculamos $\vec{BC}$ sustituyendo $\lambda = 5/3$: $$\vec{BC} = \left(\frac{5}{3} - 2, \frac{5}{3} - 2, \frac{5}{3} - 1\right) = \left(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$$ Calculamos el producto vectorial: $$\vec{AB} \times \vec{BC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -1/3 & -1/3 & 2/3 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$= \left[ \frac{2}{3}\mathbf{i} - \frac{1}{3}\mathbf{j} - \frac{1}{3}\mathbf{k} \right] - \left[ -\frac{1}{3}\mathbf{k} - \frac{1}{3}\mathbf{i} + \frac{2}{3}\mathbf{j} \right] = \left( \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \right)\mathbf{i} + \left( -\frac{1}{3} - \frac{2}{3} \right)\mathbf{j} + \left( -\frac{1}{3} + \frac{1}{3} \right)\mathbf{k} = (1, -1, 0)$$ El módulo es: $$|\vec{AB} \times \vec{BC}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2}$$ El área es: $$\text{Área} = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{\text{Área} = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ u}^2}$$

**c) [0’75 puntos] Determina las coordenadas del punto $D$.** En un rectángulo (que es un paralelogramo), se cumple la relación vectorial: $$\vec{AD} = \vec{BC}$$ Sea $D(x, y, z)$, tenemos: $$D - A = \vec{BC}$$ $$D = A + \vec{BC}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$D = (1, 1, 0) + \left(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$$ $$D = \left(1 - \frac{1}{3}, 1 - \frac{1}{3}, 0 + \frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$$ Podemos comprobar que $D$ pertenece a la recta $r$ ya que sus tres coordenadas son iguales ($x=y=z$), lo cual corresponde a un valor de $\lambda = 2/3$ en las ecuaciones paramétricas halladas en el apartado (a). ✅ **Resultado (Punto D):** $$\boxed{D\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)}$$