Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetros

**a) [1 punto] Discútelo según los valores de $\lambda$.** Para discutir el sistema, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & \lambda + 1 & 1 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & \lambda & \lambda \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & \lambda + 1 & 1 & 1 \\ 0 & \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & \lambda & \lambda \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de la matriz $A$ para ver cuándo su rango es máximo (rango 3): $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & \lambda + 1 & 1 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & \lambda & \lambda \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera columna (que tiene dos ceros): $$|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} \lambda & 1 \\ \lambda & \lambda \end{vmatrix} = \lambda^2 - \lambda$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$\lambda^2 - \lambda = 0 \implies \lambda(\lambda - 1) = 0 \implies \lambda = 0, \quad \lambda = 1$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz $3 \times 3$ con ceros en una columna se resuelve rápidamente desarrollando por esa columna.

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius** para los diferentes casos: **Caso 1: $\lambda \neq 0$ y $\lambda \neq 1$** Si $\lambda$ es distinto de 0 y 1, entonces $|A| \neq 0$. Por tanto, el rango de $A$ es 3, que coincide con el rango de $A^*$ y el número de incógnitas. $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = n$$ En este caso, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, con solución única. **Caso 2: $\lambda = 0$** La matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$ El determinante de $A$ es 0, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. El menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$ (usando columnas 1 y 3), así que $\text{rg}(A) = 2$. Como la tercera fila de $A^*$ es nula, $\text{rg}(A^*) = 2$. $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$$ El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, con infinitas soluciones. **Caso 3: $\lambda = 1$** La matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ $\text{rg}(A) = 2$ (las dos últimas filas son iguales). Sin embargo, en $A^*$, si miramos las dos últimas filas: $y+z=0$ y $y+z=1$, son contradictorias. Formalmente, un menor de $A^*$ de orden 3: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 3$$ Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} \lambda \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}: \text{SCD} \\ \lambda = 0: \text{SCI} \\ \lambda = 1: \text{SI} \end{cases}}$$

Para $\lambda = 0$, ya vimos que el sistema es **Compatible Indeterminado**. Sustituimos $\lambda = 0$ en el sistema original: $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 0y + z = 0 \\ 0y + 0z = 0 \end{cases}$$ De la segunda ecuación obtenemos directamente: $$z = 0$$ Sustituimos $z=0$ en la primera ecuación: $$x + y + 0 = 1 \implies x = 1 - y$$ Como tenemos un grado de libertad, parametrizamos una de las variables. Sea $y = \alpha$: $$\begin{cases} x = 1 - \alpha \\ y = \alpha \\ z = 0 \end{cases} \quad \text{con } \alpha \in \mathbb{R}$$ 💡 **Tip:** En un sistema SCI con $\text{rg}=2$ y 3 incógnitas, se necesita un parámetro para expresar la solución general. ✅ **Resultado (Resolución $\lambda = 0$):** $$\boxed{(x, y, z) = (1 - \alpha, \alpha, 0), \quad \forall \alpha \in \mathbb{R}}$$

Sustituimos el valor $z = 2$ en las ecuaciones originales del sistema: 1) $x + (\lambda + 1)y + 2 = 1 \implies x + (\lambda + 1)y = -1$ 2) $\lambda y + 2 = 0 \implies \lambda y = -2$ 3) $\lambda y + 2\lambda = \lambda \implies \lambda y = -\lambda$ De las ecuaciones (2) y (3) igualamos las expresiones para $\lambda y$: $$-2 = -\lambda \implies \lambda = 2$$ Verificamos si este valor es válido según la discusión del apartado (a). Como $\lambda = 2$ es distinto de 0 y 1, el sistema será Compatible Determinado, por lo que existirá una única solución que cumpla esta condición. Ahora calculamos el resto de variables con $\lambda = 2$: De la ecuación (2): $2y = -2 \implies y = -1$ De la ecuación (1): $x + (2 + 1)(-1) = -1 \implies x - 3 = -1 \implies x = 2$ 💡 **Tip:** Al sustituir una condición en un sistema paramétrico, se reduce el número de incógnitas y facilita encontrar el parámetro. ✅ **Resultado (Valor de $\lambda$ y solución):** $$\boxed{\lambda = 2; \quad (x, y, z) = (2, -1, 2)}$$