Área de un recinto limitado por una parábola y el eje OX

Para calcular el área del recinto encerrado por la función y el eje $OX$, lo primero que debemos hacer es determinar los puntos donde la gráfica corta al eje de abscisas, es decir, resolver $f(x) = 0$. La función es $f(x) = \frac{3x(2m - x)}{m^3}$. Igualamos a cero: $$\frac{3x(2m - x)}{m^3} = 0$$ Como $m > 0$, el denominador nunca es cero, por lo que la ecuación se reduce a: $$3x(2m - x) = 0$$ De aquí obtenemos dos soluciones: 1. $3x = 0 \implies x_1 = 0$ 2. $2m - x = 0 \implies x_2 = 2m$ Como el enunciado indica que $m > 0$, tenemos dos puntos de corte distintos: **$x = 0$** y **$x = 2m$**. 💡 **Tip:** Los puntos de corte con el eje $OX$ determinan los límites de integración para el cálculo del área.

Necesitamos saber si la función está por encima o por debajo del eje $OX$ en el intervalo $(0, 2m)$ para aplicar correctamente la integral. La función $f(x) = \frac{6mx - 3x^2}{m^3}$ es una parábola que abre hacia abajo (porque el coeficiente de $x^2$ es $-\frac{3}{m^3} < 0$). Al tener sus raíces en $0$ y $2m$, será positiva entre ellas. Podemos comprobarlo evaluando en el punto medio $x = m$: $$f(m) = \frac{3m(2m - m)}{m^3} = \frac{3m \cdot m}{m^3} = \frac{3m^2}{m^3} = \frac{3}{m}$$ Como $m > 0$, entonces $f(m) > 0$. Por tanto, el recinto está por encima del eje $OX$ y el área vendrá dada directamente por la integral definida. $$\boxed{A = \int_{0}^{2m} f(x) \, dx}$$

Planteamos la integral para el área $A$. Para facilitar el cálculo, sacamos las constantes fuera de la integral y desarrollamos el numerador: $$A = \int_{0}^{2m} \frac{3x(2m - x)}{m^3} \, dx = \frac{3}{m^3} \int_{0}^{2m} (2mx - x^2) \, dx$$ 💡 **Tip:** Siempre que tengas una constante multiplicando a toda la expresión dentro de una integral, puedes sacarla fuera para simplificar las operaciones: $\int k \cdot f(x) dx = k \int f(x) dx$.

Calculamos la integral indefinida aplicando las reglas básicas de integración de potencias: $$\int (2mx - x^2) \, dx = 2m \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = mx^2 - \frac{x^3}{3}$$ Por tanto, la expresión para el área es: $$A = \frac{3}{m^3} \left[ mx^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2m}$$ En este paso se ha aplicado que $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$.

Aplicamos la Regla de Barrow evaluando en los límites superior ($2m$) e inferior ($0$): $$A = \frac{3}{m^3} \left[ \left( m(2m)^2 - \frac{(2m)^3}{3} \right) - \left( m(0)^2 - \frac{0^3}{3} \right) \right]$$ Operamos dentro del corchete: $$A = \frac{3}{m^3} \left[ \left( m \cdot 4m^2 - \frac{8m^3}{3} \right) - 0 \right]$$ $$A = \frac{3}{m^3} \left[ 4m^3 - \frac{8m^3}{3} \right]$$ Realizamos la resta de fracciones: $$A = \frac{3}{m^3} \left[ \frac{12m^3 - 8m^3}{3} \right] = \frac{3}{m^3} \left( \frac{4m^3}{3} \right)$$ Simplificamos los términos: $$A = \frac{3 \cdot 4m^3}{3m^3} = 4$$ Curiosamente, el área es independiente del valor de $m$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = 4 \text{ u}^2}$$