Cálculo de parámetros en una función cúbica

**Ejercicio 1.- [2’5 puntos] Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$. Determina $a, b, c$ sabiendo que la gráfica de $f$ tiene tangente horizontal en el punto de abscisa $x = 1$ y un punto de inflexión en $(-1, 5)$.** Para hallar los valores de $a, b$ y $c$, primero calculamos las derivadas de la función, ya que las condiciones del enunciado hacen referencia a la pendiente (primera derivada) y a la curvatura (segunda derivada). Función original: $$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$$ Primera derivada (para la pendiente de la tangente): $$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$$ Segunda derivada (para el punto de inflexión): $$f''(x) = 6x + 2a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $x^n$ es $nx^{n-1}$ y que las constantes $a, b, c$ se mantienen multiplicando o desaparecen si están solas.

El enunciado indica que hay un punto de inflexión en $x = -1$. En los puntos de inflexión de funciones polinómicas, la segunda derivada debe ser nula. Por tanto, aplicamos $f''(-1) = 0$: $$f''(-1) = 6(-1) + 2a = 0$$ $$-6 + 2a = 0$$ $$2a = 6$$ $$\boxed{a = 3}$$ 💡 **Tip:** Un punto de inflexión es aquel donde la función cambia de curvatura (de cóncava a convexa o viceversa) y se localiza donde $f''(x)=0$.

Se nos dice que la función tiene una tangente horizontal en $x = 1$. Una tangente horizontal significa que la pendiente de la recta tangente es $0$, lo que equivale a decir que la primera derivada en ese punto es cero ($f'(1) = 0$). Utilizamos el valor hallado $a = 3$ en la expresión de $f'(x)$: $$f'(x) = 3x^2 + 2(3)x + b = 3x^2 + 6x + b$$ Imponemos la condición $f'(1) = 0$: $$f'(1) = 3(1)^2 + 6(1) + b = 0$$ $$3 + 6 + b = 0$$ $$9 + b = 0$$ $$\boxed{b = -9}$$ 💡 **Tip:** Siempre que leas "tangente horizontal" o "extremo relativo" (máximo/mínimo), debes plantear que $f'(x) = 0$.

El punto de inflexión es $(-1, 5)$. Esto significa que cuando $x = -1$, la imagen de la función es $y = 5$, es decir, $f(-1) = 5$. Sustituimos los valores de $a = 3$ y $b = -9$ en la función original: $$f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + c$$ Ahora aplicamos $f(-1) = 5$: $$f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 9(-1) + c = 5$$ $$-1 + 3 + 9 + c = 5$$ $$11 + c = 5$$ $$c = 5 - 11$$ $$\boxed{c = -6}$$ 💡 **Tip:** No olvides que un punto $(x_0, y_0)$ dado en el enunciado siempre proporciona la ecuación $f(x_0) = y_0$.

Tras aplicar todas las condiciones del enunciado, hemos determinado los valores de los parámetros para la función $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x - 6$. Los valores obtenidos son: $$\boxed{a = 3, \quad b = -9, \quad c = -6}$$ Podemos verificar que: - $f'(1) = 3(1)^2 + 6(1) - 9 = 0$ (Tangente horizontal). - $f''(-1) = 6(-1) + 6 = 0$ (Punto de inflexión). - $f(-1) = -1 + 3 + 9 - 6 = 5$ (Pasa por el punto $(-1, 5)$).