Posición relativa de rectas y perpendicular común

**a) [1’75 puntos] Comprueba que las rectas $r$ y $s$ se cruzan y halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a $r$ y a $s$.** Primero, extraemos un punto y un vector director de cada recta. Para la recta $s$, ya está en forma paramétrica: - Punto $P_s = (2, 2, 2)$ - Vector director $\vec{v}_s = (1, 0, 2)$ Para la recta $r$, está en forma implícita. Pasamos a paramétricas haciendo $x = \mu$: $x = \mu \implies z = 1 - \mu$. Como $y = -1$ es constante: - Recta $r: \begin{cases} x = \mu \\ y = -1 \\ z = 1 - \mu \end{cases}$ - Punto $P_r = (0, -1, 1)$ - Vector director $\vec{v}_r = (1, 0, -1)$ 💡 **Tip:** Para obtener el vector director de una recta en implícitas $\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}$, también puedes hacer el producto vectorial de los vectores normales de los planos: $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$.

Para ver la posición relativa, calculamos el determinante formado por los vectores directores $\vec{v}_r$, $\vec{v}_s$ y el vector que une los puntos $\vec{P_r P_s}$. Vector $\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (2-0, 2-(-1), 2-1) = (2, 3, 1)$. Calculamos $\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s})$ por Sarrus: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = [0 + 0 + (-3)] - [0 + 6 + 0] = -3 - 6 = -9$$ Como el determinante es distinto de cero ($\det \neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes. Puesto que los vectores directores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ no son proporcionales (no son paralelas), concluimos que **las rectas se cruzan**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$

La recta perpendicular común $t$ tiene como dirección el producto vectorial de los vectores directores de $r$ y $s$. $$\vec{v}_t = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(0-0) - \vec{j}(2 - (-1)) + \vec{k}(0-0) = (0, -3, 0)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar el vector proporcional $\vec{v}_t = (0, 1, 0)$. 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ genera un vector perpendicular a ambos. Si una componente es negativa, puedes cambiar el signo a todo el vector para trabajar más cómodo.

La recta $t$ se puede obtener como la intersección de dos planos: 1. El plano $\pi_1$ que contiene a $r$ y tiene dirección $\vec{v}_t$. 2. El plano $\pi_2$ que contiene a $s$ y tiene dirección $\vec{v}_t$. **Plano $\pi_1$ (contiene $P_r$, $\vec{v}_r$, $\vec{v}_t$):** $$\begin{vmatrix} x-0 & y+1 & z-1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \implies (x)(0 - (-1)) - (y+1)(0) + (z-1)(1) = 0 \implies x + z - 1 = 0$$ **Plano $\pi_2$ (contiene $P_s$, $\vec{v}_s$, $\vec{v}_t$):** $$\begin{vmatrix} x-2 & y-2 & z-2 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \implies (x-2)(0 - 2) - (y-2)(0) + (z-2)(1) = 0 \implies -2x + 4 + z - 2 = 0 \implies 2x - z - 2 = 0$$ ✅ **Resultado (recta perpendicular común):** $$\boxed{t \equiv \begin{cases} x + z = 1 \\ 2x - z = 2 \end{cases}}$$

**b) [0’75 puntos] Calcula la distancia entre $r$ y $s$.** La distancia entre dos rectas que se cruzan se calcula como el volumen del paralelepípedo definido por $\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}$ dividido por el área de la base (producto vectorial de los directores): $$d(r, s) = \frac{|[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}]|}{|\vec{v}_r \times \vec{v}_s|}$$ Ya tenemos los datos del apartado anterior: - El producto mixto (el determinante) es $[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}] = -9$. - El producto vectorial es $\vec{v}_r \times \vec{v}_s = (0, -3, 0)$. Calculamos el módulo del producto vectorial: $$|\vec{v}_r \times \vec{v}_s| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$$ Sustituimos en la fórmula: $$d(r, s) = \frac{|-9|}{3} = \frac{9}{3} = 3 \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia es siempre un valor positivo. Si el determinante te da negativo, el valor absoluto lo corregirá. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, s) = 3}$$