Estudio del rango de una matriz con parámetro y resolución de un sistema

**a) [1’75 puntos] Estudia, según los valores de $\lambda$, el rango de la matriz $A - \lambda I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden tres.** En primer lugar, escribimos la matriz $M = A - \lambda I$. Para ello, restamos $\lambda$ a los elementos de la diagonal principal de $A$: $$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 0 \\ 0 & 1-\lambda & -1 \\ 0 & 2 & 4-\lambda \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El rango de una matriz de orden $3$ será $3$ si su determinante es distinto de cero. Si es cero, el rango será $2$ o $1$.

Calculamos el determinante de la matriz resultante. Al tener ceros en la primera columna, desarrollamos por los elementos de dicha columna: $$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 & 0 \\ 0 & 1-\lambda & -1 \\ 0 & 2 & 4-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda) \cdot \begin{vmatrix} 1-\lambda & -1 \\ 2 & 4-\lambda \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante de orden $2$: $$|A - \lambda I| = (2-\lambda) \left[ (1-\lambda)(4-\lambda) - (2)(-1) \right] = (2-\lambda) \left[ 4 - \lambda - 4\lambda + \lambda^2 + 2 \right]$$ $$|A - \lambda I| = (2-\lambda) (\lambda^2 - 5\lambda + 6)$$ Para encontrar los valores que anulan el determinante, igualamos a cero: 1. $2 - \lambda = 0 \implies \lambda = 2$ 2. $\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0$ Usando la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$\lambda = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \implies \lambda = 3, \lambda = 2$$ Por tanto, el determinante se anula para **$\lambda = 2$** (raíz doble) y **$\lambda = 3$**.

Analizamos el rango de la matriz según los valores obtenidos: **Caso 1: $\lambda \neq 2$ y $\lambda \neq 3$** Si $\lambda$ es distinto de $2$ y $3$, el determinante $|A - \lambda I| \neq 0$. Por lo tanto, el rango de la matriz es $3$. **Caso 2: $\lambda = 3$** La matriz es $A - 3I = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$. Como el determinante es $0$, el rango es menor que $3$. Buscamos un menor de orden $2$ no nulo: $$\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = 2 \neq 0$$ Por tanto, el **rango es 2**. **Caso 3: $\lambda = 2$** La matriz es $A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$. Como el determinante es $0$, el rango es menor que $3$. Buscamos un menor de orden $2$ no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$$ Por tanto, el **rango es 2**. ✅ **Resultado (estudio del rango):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } \lambda \neq 2 \text{ y } \lambda \neq 3, & \text{rango}(A-\lambda I) = 3 \\ \text{Si } \lambda = 2 \text{ o } \lambda = 3, & \text{rango}(A-\lambda I) = 2 \end{cases}}$$

**b) [0’75 puntos] Resuelve el sistema dado por $(A - 2I) \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$** Utilizamos la matriz $A - 2I$ hallada en el apartado anterior: $$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Esto genera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} y = 0 \\ -y - z = 0 \\ 2y + 2z = 0 \end{cases}$$ Como vimos en el apartado anterior, para $\lambda = 2$ el rango de la matriz es $2$. Al ser un sistema homogéneo con $n=3$ incógnitas y $rg=2$, por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, se trata de un **Sistema Compatible Indeterminado** con $3-2=1$ grado de libertad. 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo siempre es compatible. Si el determinante de la matriz de coeficientes es cero, tiene infinitas soluciones.

Resolvemos las ecuaciones: 1. De la primera ecuación: **$y = 0$**. 2. Sustituimos $y=0$ en la segunda ecuación: $-0 - z = 0 \implies$ **$z = 0$**. 3. La tercera ecuación ($2y + 2z = 0$) es redundante (proporcional a la segunda). Observamos que la variable **$x$** no aparece en ninguna de las ecuaciones simplificadas, por lo que puede tomar cualquier valor real. Llamamos $x = \alpha$. La solución en forma paramétrica es: $$\begin{cases} x = \alpha \\ y = 0 \\ z = 0 \end{cases} \text{ con } \alpha \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado (solución del sistema):** $$\boxed{(x, y, z) = (\alpha, 0, 0) \quad \forall \alpha \in \mathbb{R}}$$