Cálculo de parámetros mediante derivada e integral definida

Se nos indica que la función $f(x) = ae^x - bx$ tiene una **tangente horizontal** en $x = 0$. Matemáticamente, esto significa que la derivada de la función en ese punto es igual a cero: $f'(0) = 0$. Primero, calculamos la derivada general de la función: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(ae^x - bx) = ae^x - b$$ Ahora, imponemos la condición en $x = 0$: $$f'(0) = ae^0 - b = a(1) - b = a - b$$ Como $f'(0) = 0$, obtenemos la primera relación entre los parámetros: $$a - b = 0 \implies a = b$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es el valor de la derivada en dicho punto. Si la tangente es horizontal, su pendiente es $0$.

La segunda condición nos dice que la integral definida de la función entre $0$ y $1$ es igual a $e - \frac{3}{2}$: $$\int_{0}^{1} (ae^x - bx) dx = e - \frac{3}{2}$$ Calculamos la integral indefinida (la primitiva) de $f(x)$: $$\int (ae^x - bx) dx = ae^x - b\frac{x^2}{2} + C$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** para evaluar la integral definida: $$\int_{0}^{1} (ae^x - bx) dx = \left[ ae^x - \frac{b}{2}x^2 \right]_0^1$$ $$\int_{0}^{1} f(x)dx = \left( ae^1 - \frac{b}{2}(1)^2 \right) - \left( ae^0 - \frac{b}{2}(0)^2 \right)$$ $$\int_{0}^{1} f(x)dx = ae - \frac{b}{2} - (a - 0) = ae - \frac{b}{2} - a$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$.

Ahora tenemos un sistema con las dos condiciones obtenidas: 1) $a = b$ 2) $ae - \frac{b}{2} - a = e - \frac{3}{2}$ Sustituimos la primera relación ($b = a$) en la segunda ecuación: $$ae - \frac{a}{2} - a = e - \frac{3}{2}$$ Agrupamos los términos con $a$: $$a \left( e - \frac{1}{2} - 1 \right) = e - \frac{3}{2}$$ $$a \left( e - \frac{3}{2} \right) = e - \frac{3}{2}$$ Dividimos ambos lados por $(e - \frac{3}{2})$, que es distinto de cero: $$a = \frac{e - 3/2}{e - 3/2} = 1$$ Como sabíamos que $a = b$, entonces: $$b = 1$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 1, \quad b = 1}$$