Estudio de asíntotas, monotonía y extremos de una función logarítmica

**a) [1 punto] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de $f$.** Primero, observamos el dominio de la función. El enunciado indica que $f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$. Esto se debe a que el logaritmo neperiano solo está definido para valores estrictamente positivos ($x \gt 0$) y el denominador se anula en $x = 0$. Para buscar **asíntotas verticales**, estudiamos el límite en el extremo abierto del dominio, es decir, cuando $x \to 0^+$: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x}$$ Como $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ y $\lim_{x \to 0^+} x = 0^+$, el límite es de la forma $\frac{-\infty}{0^+}$, lo cual resulta en $-\infty$. $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x} = -\infty$$ 💡 **Tip:** Si el límite de una función cuando $x$ tiende a un punto $a$ es $\pm\infty$, entonces $x = a$ es una asíntota vertical. ✅ **Resultado (Asíntota Vertical):** $$\boxed{x = 0}$$

Para buscar **asíntotas horizontales**, calculamos el límite cuando $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x}$$ Al evaluar, obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$$ Al ser el límite un valor finito, existe una asíntota horizontal. 💡 **Tip:** Si existe una asíntota horizontal cuando $x \to +\infty$, no puede existir una asíntota oblicua en ese mismo sentido. ✅ **Resultado (Asíntota Horizontal):** $$\boxed{y = 0}$$

**b) [1’5 puntos] Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.** Para estudiar la monotonía y los extremos, calculamos la derivada de $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(\ln(x))' \cdot x - \ln(x) \cdot (x)'}{x^2}$$ $$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln(x) \cdot 1}{x^2}$$ $$f'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Buscamos los puntos críticos resolviendo $f'(x) = 0$: $$\frac{1 - \ln(x)}{x^2} = 0 \implies 1 - \ln(x) = 0 \implies \ln(x) = 1 \implies x = e$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio $(0, +\infty)$ y el punto crítico $x = e$. El denominador $x^2$ siempre es positivo en el dominio, por lo que el signo depende solo del numerador $1 - \ln(x)$. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, e) & e & (e, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & -\\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ - En $(0, e)$: Si tomamos $x=1$, $f'(1) = \frac{1 - \ln(1)}{1^2} = 1 \gt 0$ (**Creciente**). - En $(e, +\infty)$: Si tomamos $x=e^2$, $f'(e^2) = \frac{1 - \ln(e^2)}{(e^2)^2} = \frac{1-2}{e^4} \lt 0$ (**Decreciente**). ✅ **Intervalos de monotonía:** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (0, e) \quad \text{Decrecimiento: } (e, +\infty)}$$

Dado que la función pasa de ser creciente a decreciente en $x = e$, existe un **máximo relativo** en ese punto. Calculamos la ordenada del máximo sustituyendo $x = e$ en la función original $f(x)$: $$f(e) = \frac{\ln(e)}{e} = \frac{1}{e}$$ No existen otros puntos críticos, por lo que no hay mínimos relativos. ✅ **Resultado (Extremo relativo):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } \left(e, \frac{1}{e}\right)}$$ (Abscisa: **$x = e$**, valor alcanzado: **$1/e$**)