Optimización de la distancia de un punto a una curva

**a) La distancia entre un punto $P(x, y)$ del río y el pueblo en función de la abscisa $x$ de $P$. (2 puntos)** Sea $P(x, y)$ un punto genérico que pertenece a la curva del río. Sabemos que su ordenada está condicionada por la función $y = \frac{x^2}{4}$, por lo que las coordenadas del punto son $P\left(x, \frac{x^2}{4}\right)$. El pueblo se encuentra en el punto $A(0, 4)$. La distancia entre dos puntos $P(x_1, y_1)$ y $A(x_2, y_2)$ viene dada por la fórmula: $$d(x) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ Sustituimos los valores de $A$ y $P$: $$d(x) = \sqrt{(x - 0)^2 + \left(\frac{x^2}{4} - 4\right)^2}$$ $$d(x) = \sqrt{x^2 + \frac{x^4}{16} - 2 \cdot \frac{x^2}{4} \cdot 4 + 16}$$ $$d(x) = \sqrt{x^2 + \frac{x^4}{16} - 2x^2 + 16} = \sqrt{\frac{x^4}{16} - x^2 + 16}$$ 💡 **Tip:** La fórmula de la distancia entre puntos es una aplicación directa del Teorema de Pitágoras. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(x) = \sqrt{\frac{x^4}{16} - x^2 + 16}, \quad \text{con } x \in [-6, 6]}$$

**b) El punto o puntos del tramo del río situados a distancia mínima del pueblo. (4 puntos)** Para minimizar la distancia $d(x)$, es equivalente y mucho más sencillo minimizar el cuadrado de la distancia, $f(x) = [d(x)]^2$, ya que la raíz cuadrada es una función creciente y sus extremos coincidirán en el mismo valor de $x$. Definimos $f(x)$ como: $$f(x) = \frac{x^4}{16} - x^2 + 16$$ Para hallar los extremos relativos, calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: $$f'(x) = \frac{4x^3}{16} - 2x = \frac{x^3}{4} - 2x$$ Igualamos a cero: $$\frac{x^3}{4} - 2x = 0 \implies x \left( \frac{x^2}{4} - 2 \right) = 0$$ Esto nos da tres posibles soluciones: 1. $x = 0$ 2. $\frac{x^2}{4} - 2 = 0 \implies x^2 = 8 \implies x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$

Para determinar si estos puntos son máximos o mínimos, estudiamos el signo de $f'(x)$ en el intervalo del dominio $[-6, 6]$: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & [-6, -2\sqrt{2}) & -2\sqrt{2} & (-2\sqrt{2}, 0) & 0 & (0, 2\sqrt{2}) & 2\sqrt{2} & (2\sqrt{2}, 6] \\\hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\\hline f(x) & \searrow & \min & \nearrow & \max & \searrow & \min & \nearrow \end{array}$$ - En $x = -2\sqrt{2}$ y $x = 2\sqrt{2}$ la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay **mínimos relativos**. - En $x = 0$ la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. 💡 **Tip:** Para calcular los signos, elige un valor dentro de cada intervalo. Por ejemplo, si $x=1$, $f'(1) = 1/4 - 2 = -1.75 < 0$.

Calculamos las ordenadas $y$ para $x = \pm 2\sqrt{2}$ usando la ecuación del río $y = \frac{x^2}{4}$: $$y = \frac{(\pm 2\sqrt{2})^2}{4} = \frac{8}{4} = 2$$ Los puntos de mínima distancia son $P_1(2\sqrt{2}, 2)$ y $P_2(-2\sqrt{2}, 2)$. La distancia mínima será: $$d(\pm 2\sqrt{2}) = \sqrt{\frac{(2\sqrt{2})^4}{16} - (2\sqrt{2})^2 + 16} = \sqrt{\frac{64}{16} - 8 + 16} = \sqrt{4 - 8 + 16} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3.46$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Puntos de mínima distancia: } (2\sqrt{2}, 2) \text{ y } (-2\sqrt{2}, 2)}$$

**c) El punto o puntos del tramo del río situados a distancia máxima del pueblo. (4 puntos)** Al tratarse de un intervalo cerrado $[-6, 6]$, el máximo absoluto puede encontrarse en los extremos del intervalo o en un máximo relativo. Ya sabemos que en $x=0$ hay un máximo relativo: $$d(0) = \sqrt{\frac{0}{16} - 0 + 16} = \sqrt{16} = 4$$ Ahora evaluamos la distancia en los extremos $x = -6$ y $x = 6$: $$d(6) = \sqrt{\frac{6^4}{16} - 6^2 + 16} = \sqrt{\frac{1296}{16} - 36 + 16} = \sqrt{81 - 36 + 16} = \sqrt{61} \approx 7.81$$ $$d(-6) = \sqrt{\frac{(-6)^4}{16} - (-6)^2 + 16} = \sqrt{81 - 36 + 16} = \sqrt{61}$$ Como $\sqrt{61} > 4$, la distancia máxima se alcanza en los extremos. Calculamos la ordenada para $x = \pm 6$: $$y = \frac{(\pm 6)^2}{4} = \frac{36}{4} = 9$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Puntos de máxima distancia: } (6, 9) \text{ y } (-6, 9)}$$