Posiciones relativas y construcción de rectas y planos en el espacio

Para resolver cualquier apartado, primero necesitamos los vectores directores y puntos de paso de ambas rectas. **Recta $r$:** Viene dada como intersección de dos planos. Su vector director $\vec{v}_r$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos $\vec{n}_1(1, -1, 0)$ y $\vec{n}_2(2, 0, -1)$: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{v}_r = [(-1) \cdot (-1)]\vec{i} + [0 \cdot 2]\vec{j} + [1 \cdot 0]\vec{k} - [2 \cdot (-1)]\vec{k} - [0 \cdot (-1)]\vec{i} - [(-1) \cdot 1]\vec{j}$$ $$\vec{v}_r = 1\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k} + 2\vec{k} + 0\vec{i} + 1\vec{j} = (1, 1, 2)$$ Para el punto $P_r$, fijamos $x=0$ en las ecuaciones de $r$: $0 - y + 3 = 0 \implies y = 3$ $2(0) - z + 2 = 0 \implies z = 2$ Luego, $P_r(0, 3, 2)$. **Recta $s$:** De forma análoga con $\vec{n}_3(0, 3, 0)$ y $\vec{n}_4(1, 0, -2)$: $$\vec{v}_s = \vec{n}_3 \times \vec{n}_4 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix} = (-6, 0, -3)$$ Simplificamos el vector director (dividiendo por $-3$): $\vec{v}_s = (2, 0, 1)$. 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada por dos planos es siempre el producto vectorial de sus normales. Puedes simplificar vectores directores pero **nunca** puntos de paso.

**a) El plano paralelo a la recta $s$ que contiene a la recta $r$. (3 puntos)** Si el plano $\pi$ contiene a $r$, debe pasar por $P_r(0, 3, 2)$ y tener como vector director $\vec{v}_r(1, 1, 2)$. Si además es paralelo a $s$, debe tener como segundo vector director $\vec{v}_s(2, 0, 1)$. La ecuación del plano viene dada por el determinante: $$\begin{vmatrix} x - 0 & y - 3 & z - 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por la primera fila: $$(x-0) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - (y-3) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + (z-2) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ $$x(1) - (y-3)(1-4) + (z-2)(0-2) = 0$$ $$x + 3(y-3) - 2(z-2) = 0 \implies x + 3y - 9 - 2z + 4 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + 3y - 2z - 5 = 0}$$

**b) La recta $t$ que pasa por el punto $(0, 0, 0)$, sabiendo que un vector director de $t$ es perpendicular a un vector director de $r$ y también es perpendicular a un vector director de $s$. (3 puntos)** El vector director $\vec{v}_t$ debe ser perpendicular a $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$, por lo que lo obtenemos mediante su producto vectorial: $$\vec{v}_t = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{v}_t = (1 \cdot 1)\vec{i} + (2 \cdot 2)\vec{j} + (1 \cdot 0)\vec{k} - (2 \cdot 1)\vec{k} - (0 \cdot 2)\vec{i} - (1 \cdot 1)\vec{j}$$ $$\vec{v}_t = 1\vec{i} + 4\vec{j} + 0\vec{k} - 2\vec{k} - 0\vec{i} - 1\vec{j} = (1, 3, -2)$$ Como la recta pasa por el origen $O(0, 0, 0)$, su ecuación paramétrica es: $$\begin{cases} x = \lambda \\ y = 3\lambda \\ z = -2\lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{t: \frac{x}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-2}}$$

**c) Averiguar razonadamente si existe o no un plano perpendicular a $s$ que contenga a la recta $r$. (4 puntos)** Analicemos las condiciones necesarias: 1. Si un plano $\alpha$ es perpendicular a $s$, su vector normal $\vec{n}_\alpha$ debe ser paralelo al vector director de la recta $s$. Por tanto, $\vec{n}_\alpha = \vec{v}_s = (2, 0, 1)$. 2. Si el plano $\alpha$ contiene a la recta $r$, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\alpha$. Comprobamos si $\vec{v}_r \perp \vec{v}_s$ mediante el producto escalar: $$\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s = (1, 1, 2) \cdot (2, 0, 1) = 1\cdot 2 + 1\cdot 0 + 2\cdot 1 = 2 + 0 + 2 = 4$$ Como $\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s \neq 0$, los vectores **no son perpendiculares**. Esto significa que la dirección de la recta $r$ no es paralela a ninguna dirección contenida en un plano perpendicular a $s$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe tal plano, ya que } \vec{v}_r \text{ no es perpendicular a } \vec{v}_s}$$