Sistema de ecuaciones con parámetro real

**a) Todas las soluciones del sistema cuando $\alpha = 1$. (3 puntos)** Sustituimos $\alpha = 1$ en el sistema original para obtener las ecuaciones específicas: $$\begin{cases} (1-1)x + (2(1)+1)y + (2(1)+2)z = 1 \\ (1)x + (1)y = 2(1) + 2 \\ 2x + (1+1)y + (1-1)z = 1^2 - 2(1) + 9 \end{cases}$$ Simplificando, el sistema resultante es: $$\begin{cases} 3y + 4z = 1 \\ x + y = 4 \\ 2x + 2y = 8 \end{cases}$$ Observamos inmediatamente que la tercera ecuación ($2x + 2y = 8$) es el doble de la segunda ($x + y = 4$). Por tanto, es una ecuación redundante que no aporta información nueva.

Como tenemos 2 ecuaciones independientes y 3 incógnitas, el sistema es **Compatible Indeterminado** (tiene infinitas soluciones). Procedemos a resolverlo en función de un parámetro. De la segunda ecuación: $$x = 4 - y$$ De la primera ecuación despejamos $z$: $$4z = 1 - 3y \implies z = \frac{1 - 3y}{4}$$ Si llamamos al parámetro $y = \lambda$, con $\lambda \in \mathbb{R}$, las soluciones son: $$\begin{cases} x = 4 - \lambda \\ y = \lambda \\ z = \dfrac{1 - 3\lambda}{4} \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Un sistema con menos ecuaciones significativas que incógnitas suele ser Compatible Indeterminado. Siempre debes expresar la solución general usando un parámetro (como $\lambda$ o $t$). ✅ **Resultado (soluciones para $\alpha=1$):** $$\boxed{(x, y, z) = \left( 4-\lambda, \lambda, \frac{1-3\lambda}{4} \right), \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

**b) La justificación razonada de si el sistema es compatible o incompatible cuando $\alpha = 2$. (3 puntos)** Sustituimos $\alpha = 2$ en el sistema: $$\begin{cases} (1-2)x + (2(2)+1)y + (2(2)+2)z = 2 \\ 2x + 2y = 2(2) + 2 \\ 2x + (2+1)y + (2-1)z = 2^2 - 2(2) + 9 \end{cases}$$ Simplificando: $$\begin{cases} -x + 5y + 6z = 2 \\ 2x + 2y = 6 \\ 2x + 3y + z = 9 \end{cases}$$ Para justificar su compatibilidad, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**, estudiando el rango de la matriz de coeficientes $A$ y de la matriz ampliada $A^*$. $$A = \begin{pmatrix} -1 & 5 & 6 \\ 2 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} -1 & 5 & 6 & 2 \\ 2 & 2 & 0 & 6 \\ 2 & 3 & 1 & 9 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante de $A$ por la regla de Sarrus: $$|A| = [(-1)\cdot 2 \cdot 1 + 5 \cdot 0 \cdot 2 + 6 \cdot 2 \cdot 3] - [6 \cdot 2 \cdot 2 + 5 \cdot 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 \cdot 3]$$ $$|A| = [-2 + 0 + 36] - [24 + 10 + 0] = 34 - 34 = 0$$ Como $|A| = 0$, el $\text{rango}(A) < 3$. Al existir un menor de orden 2 no nulo, como $\begin{vmatrix} -1 & 5 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = -2 - 10 = -12 \neq 0$, concluimos que $\text{rango}(A) = 2$.

Estudiamos el $\text{rango}(A^*)$ orlando el menor anterior con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -1 & 5 & 2 \\ 2 & 2 & 6 \\ 2 & 3 & 9 \end{vmatrix} = [(-18) + 60 + 12] - [8 + (-18) + 90] = 54 - 80 = -26 \neq 0$$ Como este determinante de orden 3 es distinto de cero, el $\text{rango}(A^*) = 3$. Según el **Teorema de Rouché-Capelli**: - $\text{rango}(A) = 2$ - $\text{rango}(A^*) = 3$ Dado que $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$, el sistema es **Incompatible**. 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de la matriz de coeficientes es 0, el sistema puede ser Incompatible o Compatible Indeterminado. Es obligatorio comprobar el rango de la ampliada. ✅ **Resultado (justificación):** $$\boxed{\text{El sistema es Incompatible para } \alpha = 2}$$

**c) Los valores de $\alpha$ para los que el sistema es compatible y determinado. (4 puntos)** Un sistema de ecuaciones lineales es **Compatible Determinado (SCD)** si y solo si el determinante de la matriz de coeficientes $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Planteamos el determinante de la matriz $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1-\alpha & 2\alpha+1 & 2\alpha+2 \\ \alpha & \alpha & 0 \\ 2 & \alpha+1 & \alpha-1 \end{vmatrix}$$ Para facilitar el cálculo, factorizamos $\alpha$ de la segunda fila: $$|A| = \alpha \cdot \begin{vmatrix} 1-\alpha & 2\alpha+1 & 2\alpha+2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & \alpha+1 & \alpha-1 \end{vmatrix}$$ Realizamos la operación de columnas $C_2 = C_2 - C_1$: $$|A| = \alpha \cdot \begin{vmatrix} 1-\alpha & 3\alpha & 2\alpha+2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & \alpha-1 & \alpha-1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por los elementos de la segunda fila (el elemento $a_{21}=1$ lleva signo negativo en el adjunto): $$|A| = \alpha \cdot (-1) \cdot \begin{vmatrix} 3\alpha & 2\alpha+2 \\ \alpha-1 & \alpha-1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = -\alpha \cdot [ 3\alpha(\alpha-1) - (2\alpha+2)(\alpha-1) ]$$ $$|A| = -\alpha \cdot (\alpha-1) [ 3\alpha - (2\alpha+2) ] = -\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)$$

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$-\alpha(\alpha-1)(\alpha-2) = 0 \implies \alpha = 0, \alpha = 1, \alpha = 2$$ Por tanto: - Si $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1, 2\}$, entonces $|A| \neq 0$, lo que implica que $\text{rango}(A) = 3 = \text{rango}(A^*) = n^{\circ}$ incógnitas. Bajo estas condiciones, el sistema es **Compatible Determinado**. 💡 **Tip:** Aplicar propiedades de los determinantes (como sacar factor común o hacer ceros) simplifica enormemente el cálculo del polinomio en $\alpha$. ✅ **Resultado (valores de SCD):** $$\boxed{\alpha \in \mathbb{R}, \alpha \neq 0, \alpha \neq 1, \alpha \neq 2}$$