Estudio de crecimiento y cálculo de áreas con parábolas

**a) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función real $f$ definida por $f(x) = (x - 1)(x - 3)$, siendo $x$ un número real.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, primero derivamos la función. Es más sencillo si expandimos el producto antes de derivar: $$f(x) = (x-1)(x-3) = x^2 - 3x - x + 3 = x^2 - 4x + 3$$ Ahora calculamos su derivada $f'(x)$: $$f'(x) = 2x - 4$$ Para encontrar los puntos críticos, igualamos la derivada a cero: $$2x - 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2$$ 💡 **Tip:** El crecimiento de una función cuadrática (parábola) cambia siempre en su vértice, que en este caso se encuentra en $x=2$.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico $x=2$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 2) & 2 & (2, +\infty)\\ \hline f'(x) & - & 0 & +\\ \hline f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En el intervalo $(-\infty, 2)$, tomamos $x=0$: $f'(0) = 2(0) - 4 = -4 \lt 0$, por lo que la función **decrece**. - En el intervalo $(2, +\infty)$, tomamos $x=3$: $f'(3) = 2(3) - 4 = 2 \gt 0$, por lo que la función **crece**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Decreciente en } (-\infty, 2) \text{ y Creciente en } (2, +\infty)}$$

**b) El área del recinto acotado limitado entre las curvas $y = (x - 1)(x - 3)$ e $y = -(x - 1)(x - 3)$.** Primero buscamos los puntos de corte entre las dos funciones: $$(x-1)(x-3) = -(x-1)(x-3)$$ $$2(x-1)(x-3) = 0 \implies x = 1, \quad x = 3$$ Las curvas se cortan en $x=1$ y $x=3$. En el intervalo $(1, 3)$, evaluamos qué función está por encima: Para $x=2$: - $y_1 = (2-1)(2-3) = -1$ - $y_2 = -(2-1)(2-3) = 1$ Como $y_2 \gt y_1$ en el intervalo $(1, 3)$, el área viene dada por: $$A = \int_{1}^{3} [-(x-1)(x-3) - (x-1)(x-3)] \, dx = \int_{1}^{3} -2(x^2 - 4x + 3) \, dx$$

Calculamos la integral usando la Regla de Barrow: $$A = \int_{1}^{3} (-2x^2 + 8x - 6) \, dx = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 4x^2 - 6x \right]_{1}^{3}$$ Evaluamos en los límites: Para $x=3$: $$-\frac{2(27)}{3} + 4(9) - 6(3) = -18 + 36 - 18 = 0$$ Para $x=1$: $$-\frac{2(1)}{3} + 4(1) - 6(1) = -\frac{2}{3} - 2 = -\frac{8}{3}$$ Restamos los valores: $$A = 0 - \left( -\frac{8}{3} \right) = \frac{8}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser un valor positivo. Si obtienes un resultado negativo, revisa el orden de las funciones en el integrando. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{8}{3} \text{ unidades cuadradas}}$$

**c) El valor positivo de $a$ para el cual el área limitada entre la curva $y = a(x - 1)(x - 3)$, el eje $Y$ y el segmento que une los puntos $(0, 0)$ y $(1, 0)$ es 4/3.** El recinto está limitado por: 1. La curva $y = a(x^2 - 4x + 3)$. 2. El eje $Y$ ($x=0$). 3. El segmento entre $(0,0)$ y $(1,0)$, que está sobre el eje $X$ ($y=0$) para $x \in [0, 1]$. En el intervalo $[0, 1]$, la función $y = a(x-1)(x-3)$ es positiva porque $a \gt 0$, $(x-1) \le 0$ y $(x-3) \lt 0$ (el producto de dos negativos es positivo). El área es: $$A = \int_{0}^{1} a(x^2 - 4x + 3) \, dx = \frac{4}{3}$$

Extraemos la constante $a$ e integramos: $$a \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_{0}^{1} = \frac{4}{3}$$ Evaluamos en $x=1$: $$a \left( \frac{1}{3} - 2 + 3 \right) = a \left( \frac{1}{3} + 1 \right) = a \left( \frac{4}{3} \right)$$ Igualamos al valor del área dado en el enunciado: $$a \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{3} \implies a = 1$$ Como el enunciado especifica que $a$ debe ser un valor positivo, $a=1$ es la solución válida. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1}$$