Geometría: Rectas, planos y distancias

**a) La ecuación del plano $\pi$ que pasa por el punto $P(2, 0, 1)$ y es perpendicular a la recta $r: \begin{cases} x + 2y = 0 \\ z = 0 \end{cases}$. (3 puntos)** Para obtener la ecuación de un plano perpendicular a una recta, necesitamos que el vector normal del plano ($\vec{n}_\pi$) coincida con el vector director de la recta ($\vec{v}_r$). La recta $r$ viene dada por la intersección de dos planos. Sus vectores normales son: $$\vec{n}_1 = (1, 2, 0)$$ $$\vec{n}_2 = (0, 0, 1)$$ El vector director de la recta se obtiene mediante el producto vectorial de ambos vectores: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por el método de Sarrus: $$\vec{v}_r = (2 \cdot 1 - 0 \cdot 0)\mathbf{i} - (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)\mathbf{j} + (1 \cdot 0 - 2 \cdot 0)\mathbf{k} = 2\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 0\mathbf{k}$$ $$\vec{v}_r = (2, -1, 0)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida por dos planos es perpendicular a los vectores normales de dichos planos.

Como el plano $\pi$ es perpendicular a $r$, su vector normal será $\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (2, -1, 0)$. La ecuación general del plano será de la forma: $$2x - y + D = 0$$ Sustituimos el punto $P(2, 0, 1)$ en la ecuación para hallar $D$: $$2(2) - (0) + D = 0 \implies 4 + D = 0 \implies D = -4$$ La ecuación del plano $\pi$ es: $$\boxed{\pi: 2x - y - 4 = 0}$$ 💡 **Tip:** Si un plano es perpendicular a una recta, las componentes del vector director de la recta son los coeficientes $A, B, C$ de la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$.

**b) Las coordenadas del punto $Q$ situado en la intersección de la recta $r$ y del plano $\pi$. (2 puntos)** Primero escribimos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas. Necesitamos un punto de la recta; si $y=0$, de $x+2y=0$ obtenemos $x=0$, y sabemos $z=0$. El punto $R(0,0,0)$ pertenece a la recta. $$r: \begin{cases} x = 2\lambda \\ y = -\lambda \\ z = 0 \end{cases}$$ Sustituimos estas coordenadas en la ecuación del plano $\pi$: $$2(2\lambda) - (-\lambda) - 4 = 0$$ $$4\lambda + \lambda - 4 = 0 \implies 5\lambda = 4 \implies \lambda = \frac{4}{5}$$ Ahora calculamos las coordenadas de $Q$ sustituyendo $\lambda$ en las paramétricas de $r$: $$x = 2\left(\frac{4}{5}\right) = \frac{8}{5}$$ $$y = -\frac{4}{5}$$ $$z = 0$$ ✅ **Resultado (Punto Q):** $$\boxed{Q\left(\frac{8}{5}, -\frac{4}{5}, 0\right)}$$

**c) La distancia del punto $P$ a la recta $r$, (3 puntos), y justificar razonadamente que la distancia del punto $P$ a un punto cualquiera de la recta $r$ es mayor o igual que $\frac{3\sqrt{5}}{5}$. (2 puntos)** Como el plano $\pi$ es perpendicular a la recta $r$ y contiene al punto $P$, el punto $Q$ (intersección de $r$ y $\pi$) es la proyección ortogonal de $P$ sobre la recta $r$. Por tanto, la distancia de $P$ a $r$ coincide con la distancia entre $P$ y $Q$. Calculamos el vector $\vec{PQ}$: $$\vec{PQ} = Q - P = \left(\frac{8}{5} - 2, -\frac{4}{5} - 0, 0 - 1\right) = \left(-\frac{2}{5}, -\frac{4}{5}, -1\right)$$ La distancia es el módulo de este vector: $$d(P, r) = |\vec{PQ}| = \sqrt{\left(-\frac{2}{5}\right)^2 + \left(-\frac{4}{5}\right)^2 + (-1)^2}$$ $$d(P, r) = \sqrt{\frac{4}{25} + \frac{16}{25} + 1} = \sqrt{\frac{20}{25} + \frac{25}{25}} = \sqrt{\frac{45}{25}}$$ $$d(P, r) = \frac{\sqrt{9 \cdot 5}}{5} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$$ ✅ **Resultado (Distancia):** $$\boxed{d(P, r) = \frac{3\sqrt{5}}{5}}$$

Para cualquier punto $X$ de la recta $r$, el triángulo formado por los puntos $P, Q$ y $X$ es un **triángulo rectángulo** con el ángulo recto en el vértice $Q$, ya que $Q$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre $r$ (al ser $\pi$ perpendicular a $r$ y contener a $P$). En este triángulo rectángulo $PQX$, el segmento $PX$ es la **hipotenusa** y el segmento $PQ$ es uno de los **catetos**. Por el Teorema de Pitágoras: $$|\vec{PX}|^2 = |\vec{PQ}|^2 + |\vec{QX}|^2$$ Como $|\vec{QX}|^2 \ge 0$, se deduce que: $$|\vec{PX}|^2 \ge |\vec{PQ}|^2 \implies |\vec{PX}| \ge |\vec{PQ}|$$ Como la distancia $d(P, r) = |\vec{PQ}| = \frac{3\sqrt{5}}{5}$, cualquier distancia $|\vec{PX}|$ a un punto $X \in r$ será mayor o igual a ese valor. 💡 **Tip:** La distancia de un punto a una recta se define precisamente como el valor mínimo de las distancias entre dicho punto y todos los puntos de la recta.