Inversa de una matriz, ecuaciones matriciales y potencias

**a) La matriz inversa de la matriz $A$. (2 puntos)** Para que una matriz sea invertible, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos el determinante de $A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$: $$\text{det}(A) = |A| = \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2) - (-3 \cdot 2) = 2 + 6 = 8.$$ Como $|A| = 8 \neq 0$, la matriz $A$ es regular y **existe su inversa $A^{-1}$**. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz tiene inversa si y solo si su determinante es no nulo ($|A| \neq 0$).

Utilizaremos la fórmula de la matriz adjunta: $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} \cdot (\text{Adj}(A))^t$. 1. Hallamos la matriz de los adjuntos $\text{Adj}(A)$: - $A_{11} = 2$ - $A_{12} = -2$ - $A_{21} = -(-3) = 3$ - $A_{22} = 1$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$$ 2. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta: $$(\text{Adj}(A))^t = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Obtenemos $A^{-1}$: $$A^{-1} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/8 & 3/8 \\ -2/8 & 1/8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/4 & 3/8 \\ -1/4 & 1/8 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/4 & 3/8 \\ -1/4 & 1/8 \end{pmatrix}}$$

**b) Las matrices $X$ e $Y$ de orden $2 \times 2$ tales que $XA = B$ y $AY = B$. (2 + 2 puntos)** Para despejar $X$ en la ecuación $XA = B$, multiplicamos por $A^{-1}$ por la **derecha** en ambos miembros: $$XA \cdot A^{-1} = B \cdot A^{-1} \implies X \cdot I = B \cdot A^{-1} \implies X = B \cdot A^{-1}$$ Calculamos el producto: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1/4 & 3/8 \\ -1/4 & 1/8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(\frac{1}{4}) + 3(-\frac{1}{4}) & 1(\frac{3}{8}) + 3(\frac{1}{8}) \\ 2(\frac{1}{4}) + (-2)(-\frac{1}{4}) & 2(\frac{3}{8}) + (-2)(\frac{1}{8}) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 1/4 - 3/4 & 3/8 + 3/8 \\ 2/4 + 2/4 & 6/8 - 2/8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2/4 & 6/8 \\ 4/4 & 4/8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 & 3/4 \\ 1 & 1/2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial, el orden de la multiplicación es fundamental porque el producto no es conmutativo ($AB \neq BA$). ✅ **Resultado (matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -1/2 & 3/4 \\ 1 & 1/2 \end{pmatrix}}$$

Para despejar $Y$ en la ecuación $AY = B$, multiplicamos por $A^{-1}$ por la **izquierda** en ambos miembros: $$A^{-1} \cdot AY = A^{-1} \cdot B \implies I \cdot Y = A^{-1} \cdot B \implies Y = A^{-1} \cdot B$$ Calculamos el producto: $$Y = \begin{pmatrix} 1/4 & 3/8 \\ -1/4 & 1/8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4}(1) + \frac{3}{8}(2) & \frac{1}{4}(3) + \frac{3}{8}(-2) \\ -\frac{1}{4}(1) + \frac{1}{8}(2) & -\frac{1}{4}(3) + \frac{1}{8}(-2) \end{pmatrix}$$ $$Y = \begin{pmatrix} 1/4 + 6/8 & 3/4 - 6/8 \\ -1/4 + 2/8 & -3/4 - 2/8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/4 + 3/4 & 3/4 - 3/4 \\ -1/4 + 1/4 & -3/4 - 1/4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz Y):** $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}}$$

**c) Justificar razonadamente que si $M$ es una matriz cuadrada tal que $M^2 = I$, donde $I$ es la matriz identidad del mismo orden que $M$, entonces se verifica la igualdad $M^3 = M^7$. (4 puntos)** Partimos de la condición dada: $M^2 = I$. Podemos calcular las potencias sucesivas de $M$ basándonos en esta propiedad: 1. Calculamos $M^3$: $$M^3 = M^2 \cdot M = I \cdot M = M$$ 2. Calculamos $M^4$: $$M^4 = M^3 \cdot M = M \cdot M = M^2 = I$$ 3. Calculamos $M^5$: $$M^5 = M^4 \cdot M = I \cdot M = M$$ 4. Calculamos $M^6$: $$M^6 = M^5 \cdot M = M \cdot M = M^2 = I$$ 5. Calculamos $M^7$: $$M^7 = M^6 \cdot M = I \cdot M = M$$ Por lo tanto, hemos demostrado que tanto $M^3$ como $M^7$ son iguales a la matriz original $M$: $$M^3 = M \quad \text{y} \quad M^7 = M \implies M^3 = M^7$$ De forma general, si $M^2 = I$, entonces $M^n = M$ si $n$ es impar y $M^n = I$ si $n$ es par. 💡 **Tip:** Cualquier matriz que cumpla $M^2 = I$ se denomina matriz involutiva. ✅ **Justificación final:** $$\boxed{M^3 = M \cdot M^2 = M \cdot I = M; \quad M^7 = M^6 \cdot M = (M^2)^3 \cdot M = I^3 \cdot M = I \cdot M = M \implies M^3 = M^7}$$