Optimización del coste de un depósito

**a) El coste total del depósito en función de la longitud $x$ de un lado de su base. (3 puntos)** Primero, definimos las variables del problema: - $x$: longitud del lado de la base cuadrada (en metros). - $h$: altura del depósito (en metros). El enunciado nos indica que la capacidad (volumen) del depósito es de $1500 \text{ m}^3$. La fórmula del volumen de una caja de base cuadrada es $V = \text{área base} \cdot \text{altura}$: $$V = x^2 \cdot h = 1500$$ De esta ecuación, podemos despejar la altura $h$ en función de $x$: $$h = \frac{1500}{x^2}$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización con varias variables, siempre debemos usar la condición de restricción (en este caso el volumen) para expresar una variable en función de la otra.

El coste total $C$ es la suma del coste de la base y el coste de las cuatro paredes laterales: 1. **Coste de la base:** El área es $x^2$ y el precio es $15 \text{ €/m}^2$. $$\text{Coste}_B = 15 \cdot x^2$$ 2. **Coste lateral:** Hay 4 paredes rectangulares de dimensiones $x \times h$. El área lateral total es $4xh$ y el precio es $5 \text{ €/m}^2$. $$\text{Coste}_L = 5 \cdot (4xh) = 20xh$$ El coste total es: $$C(x, h) = 15x^2 + 20xh$$ Sustituimos $h = \dfrac{1500}{x^2}$ para obtener el coste en función de $x$: $$C(x) = 15x^2 + 20x \left( \frac{1500}{x^2} \right) = 15x^2 + \frac{30000}{x}$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{C(x) = 15x^2 + \frac{30000}{x}}$$

**b) Las longitudes del lado de la base y de la altura del depósito para que dicho coste total sea mínimo. (5 puntos)** Para encontrar el mínimo de la función $C(x)$, calculamos su primera derivada: $$C'(x) = \frac{d}{dx} \left( 15x^2 + 30000x^{-1} \right)$$ $$C'(x) = 30x - 30000x^{-2} = 30x - \frac{30000}{x^2}$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$30x - \frac{30000}{x^2} = 0 \implies 30x = \frac{30000}{x^2}$$ $$30x^3 = 30000 \implies x^3 = \frac{30000}{30} = 1000$$ $$x = \sqrt[3]{1000} = 10 \text{ m}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $1/x$ es $-1/x^2$. Esto es fundamental para derivar funciones con la variable en el denominador.

Para confirmar que en $x = 10$ hay un mínimo, utilizamos el criterio de la segunda derivada: $$C''(x) = \frac{d}{dx} \left( 30x - 30000x^{-2} \right) = 30 + 60000x^{-3} = 30 + \frac{60000}{x^3}$$ Evaluamos en $x = 10$: $$C''(10) = 30 + \frac{60000}{10^3} = 30 + \frac{60000}{1000} = 30 + 60 = 90$$ Como $C''(10) \gt 0$, la función presenta un **mínimo relativo** en $x = 10$. También podemos ver el signo de la derivada en una tabla: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0,10) & 10 & (10,+\infty)\\ \hline C'(x) & - & 0 & +\\ \hline \text{Función} & \searrow & \min & \nearrow \end{array} $$

Ya conocemos el lado de la base $x = 10 \text{ m}$. Ahora calculamos la altura $h$ utilizando la relación hallada en el paso 1: $$h = \frac{1500}{x^2} = \frac{1500}{10^2} = \frac{1500}{100} = 15 \text{ m}$$ ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{x = 10 \text{ m}, \quad h = 15 \text{ m}}$$

**c) El valor del mínimo coste total del depósito. (2 puntos)** Sustituimos el valor de $x = 10$ en la función de coste $C(x)$: $$C(10) = 15(10)^2 + \frac{30000}{10}$$ $$C(10) = 15(100) + 3000$$ $$C(10) = 1500 + 3000 = 4500 \text{ €}$$ ✅ **Resultado (Apartado c):** $$\boxed{\text{Coste mínimo} = 4500 \text{ €}}$$