Posición relativa de rectas, paralelismo con planos y planos definidos por puntos y rectas

**a) La posición relativa de las rectas $r$ y $s$ y el punto (o puntos) comunes a $r$ y $s$. (4 puntos)** Para estudiar la posición relativa, primero obtenemos un punto y un vector director de cada recta. **Para la recta $s$ (en paramétricas):** Directamente leemos el punto $P_s$ y el vector $\vec{v}_s$: $$P_s(1, 2, 3), \quad \vec{v}_s = (-2, 1, -1)$$ **Para la recta $r$ (en implícitas):** El vector director es el producto vectorial de los vectores normales a los planos que la definen, $\vec{n}_1 = (2, -1, 0)$ y $\vec{n}_2 = (6, 0, -1)$: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 6 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 6 & -1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 6 & 0 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_r = 1\mathbf{i} - (-2)\mathbf{j} + 6\mathbf{k} = (1, 2, 6)$$ Para obtener un punto $P_r$, fijamos $x=0$ en las ecuaciones de $r$: $$\begin{cases} 2(0) - y + 5 = 0 \implies y = 5 \\ 6(0) - z + 8 = 0 \implies z = 8 \end{cases} \implies P_r(0, 5, 8)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada como intersección de dos planos es siempre perpendicular a ambos vectores normales.

Primero comprobamos si los vectores directores son paralelos: $$\frac{1}{-2} \neq \frac{2}{1} \neq \frac{6}{-1}$$ No son proporcionales, por lo que las rectas **se cruzan o se cortan**. Para decidirlo, analizamos el determinante formado por $\vec{P_r P_s}$, $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$: $\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (1-0, 2-5, 3-8) = (1, -3, -5)$ $$D = \begin{vmatrix} 1 & -3 & -5 \\ 1 & 2 & 6 \\ -2 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$D = [1 \cdot 2 \cdot (-1) + (-3) \cdot 6 \cdot (-2) + (-5) \cdot 1 \cdot 1] - [(-5) \cdot 2 \cdot (-2) + 1 \cdot 6 \cdot 1 + (-3) \cdot 1 \cdot (-1)]$$ $$D = [-2 + 36 - 5] - [20 + 6 + 3] = 29 - 29 = 0$$ Como el determinante es $0$ y los vectores no son paralelos, las rectas **se cortan en un punto (son coplanarias)**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cortan en un punto.}}$$

Para hallar el punto de corte, sustituimos las expresiones paramétricas de $s$ en las ecuaciones implícitas de $r$: $s: \begin{cases} x = 1 - 2\alpha \\ y = 2 + \alpha \\ z = 3 - \alpha \end{cases}$ Sustituyendo en $2x - y + 5 = 0$: $$2(1 - 2\alpha) - (2 + \alpha) + 5 = 0 \implies 2 - 4\alpha - 2 - \alpha + 5 = 0 \implies -5\alpha + 5 = 0 \implies \alpha = 1$$ Comprobamos en la segunda ecuación de $r$ ($6x - z + 8 = 0$): $$6(1 - 2(1)) - (3 - 1) + 8 = 6(-1) - 2 + 8 = -6 - 2 + 8 = 0$$ Se cumple la igualdad. Calculamos las coordenadas del punto para $\alpha = 1$: $$x = 1 - 2(1) = -1, \quad y = 2 + 1 = 3, \quad z = 3 - 1 = 2$$ ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{Q(-1, 3, 2)}$$

**b) El valor del parámetro $m$ para que la recta $s$ sea paralela al plano $\pi$. (3 puntos)** Una recta $s$ es paralela a un plano $\pi$ si su vector director $\vec{v}_s$ es perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$, es decir, si su producto escalar es cero, y además el punto de la recta no pertenece al plano. Datos: $\vec{v}_s = (-2, 1, -1)$ $\pi: 2x + 0y + mz + 1 = 0 \implies \vec{n}_\pi = (2, 0, m)$ Calculamos el producto escalar: $$\vec{v}_s \cdot \vec{n}_\pi = (-2) \cdot 2 + 1 \cdot 0 + (-1) \cdot m = -4 - m$$ Igualamos a cero para que sean perpendiculares: $$-4 - m = 0 \implies m = -4$$ Verificamos que la recta no esté contenida en el plano comprobando si $P_s(1, 2, 3) \in \pi$ con $m = -4$: $$2(1) - 4(3) + 1 = 2 - 12 + 1 = -9 \neq 0$$ Como no se cumple la ecuación, la recta es estrictamente paralela. ✅ **Resultado final apartado b):** $$\boxed{m = -4}$$

**c) La ecuación del plano que contiene a la recta $s$ y al punto $P(1, 2, 4)$. (3 puntos)** El plano buscado, $\pi'$, estará determinado por: 1. Un punto del plano: $P(1, 2, 4)$. 2. Un vector director: el de la recta $s$, $\vec{v}_s = (-2, 1, -1)$. 3. Un segundo vector director: el que une un punto de la recta $s$, $P_s(1, 2, 3)$, con el punto dado $P(1, 2, 4)$. $$\vec{u} = \vec{P_s P} = P - P_s = (1-1, 2-2, 4-3) = (0, 0, 1)$$ La ecuación del plano viene dada por el determinante: $$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 2 & z - 4 \\ -2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por la tercera fila (que tiene más ceros): $$1 \cdot \begin{vmatrix} x - 1 & y - 2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x - 1) - (-2)(y - 2) = 0$$ $$x - 1 + 2y - 4 = 0$$ $$x + 2y - 5 = 0$$ 💡 **Tip:** Si el determinante es cero, significa que los vectores son coplanarios, definiendo así el plano. ✅ **Resultado final apartado c):** $$\boxed{\pi': x + 2y - 5 = 0}$$