Invertibilidad, propiedades de determinantes y ecuaciones matriciales

**a) Los valores de $x$ para los cuales la matriz $B$ tiene inversa. (3 puntos)** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $B$ utilizando la regla de Sarrus: $$|B| = \begin{vmatrix} x & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos el determinante: $$|B| = (x \cdot 2 \cdot 0) + (1 \cdot 3 \cdot 0) + (1 \cdot 1 \cdot (-1)) - [(-1 \cdot 2 \cdot 0) + (3 \cdot 1 \cdot x) + (0 \cdot 1 \cdot 1)]$$ $$|B| = (0 + 0 - 1) - (0 + 3x + 0) = -1 - 3x$$ Para que la matriz $B$ tenga inversa, imponemos la condición $|B| \neq 0$: $$-1 - 3x \neq 0 \implies -3x \neq 1 \implies x \neq -\frac{1}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz $M$ es invertible si $\det(M) \neq 0$. En este caso, al haber ceros en la tercera fila, también se podría haber desarrollado por esa fila para simplificar cálculos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz } B \text{ tiene inversa para cualquier } x \in \mathbb{R}, x \neq -\frac{1}{3}}$$

**b) El valor del determinante de las matrices $A^3$ y $\begin{pmatrix} 2x & 5 & -1 \\ 2y & 10 & 3 \\ 2z & 5 & 0 \end{pmatrix}$, sabiendo que el valor del determinante de la matriz $A$ es 8. (4 puntos)** Primero, calculamos $|A^3|$. Utilizamos la propiedad de los determinantes que establece que el determinante del producto es el producto de los determinantes, es decir, $|M^n| = |M|^n$. Dado que $|A| = 8$, tenemos: $$|A^3| = |A|^3 = 8^3 = 512$$ 💡 **Tip:** Esta propiedad es muy útil para evitar calcular la potencia de la matriz explícitamente, lo cual sería muy costoso en tiempo. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{|A^3| = 512}$$

Ahora calculamos el determinante de la matriz $C = \begin{pmatrix} 2x & 5 & -1 \\ 2y & 10 & 3 \\ 2z & 5 & 0 \end{pmatrix}$. Observamos la relación entre las columnas de $C$ y las de $A = \begin{pmatrix} x & 1 & -1 \\ y & 2 & 3 \\ z & 1 & 0 \end{pmatrix}$: - La primera columna de $C$ es la primera de $A$ multiplicada por 2. - La segunda columna de $C$ es la segunda de $A$ multiplicada por 5. - La tercera columna de $C$ es idéntica a la de $A$. Aplicamos la propiedad: "Si se multiplica una columna (o fila) de un determinante por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número": $$\begin{vmatrix} 2x & 5 & -1 \\ 2y & 10 & 3 \\ 2z & 5 & 0 \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} x & 5 & -1 \\ y & 10 & 3 \\ z & 5 & 0 \end{vmatrix} = 2 \cdot 5 \cdot \begin{vmatrix} x & 1 & -1 \\ y & 2 & 3 \\ z & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Como el último determinante es $|A| = 8$, entonces: $$|C| = 10 \cdot |A| = 10 \cdot 8 = 80$$ ✅ **Resultado final apartado b:** $$\boxed{|A^3| = 512 \text{ y } |C| = 80}$$

**c) Los valores de $x, y, z$ para los cuales $A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 3 & 7 & 6 \\ -1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$. (3 puntos)** Calculamos $A^2 = A \cdot A$: $$A^2 = \begin{pmatrix} x & 1 & -1 \\ y & 2 & 3 \\ z & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & 1 & -1 \\ y & 2 & 3 \\ z & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^2+y-z & x+2-1 & -x+3 \\ xy+2y+3z & y+4+3 & -y+6 \\ xz+y & z+2 & -z+3 \end{pmatrix}$$ Simplificando los elementos: $$A^2 = \begin{pmatrix} x^2+y-z & x+1 & -x+3 \\ xy+2y+3z & y+7 & -y+6 \\ xz+y & z+2 & -z+3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Realiza la multiplicación fila por columna con cuidado, anotando cada suma para evitar errores algebraicos.

Igualamos la matriz resultante a la matriz dada en el enunciado: $$\begin{pmatrix} x^2+y-z & x+1 & -x+3 \\ xy+2y+3z & y+7 & -y+6 \\ xz+y & z+2 & -z+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 3 & 7 & 6 \\ -1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$$ Para que dos matrices sean iguales, todos sus elementos deben ser iguales. Buscamos las ecuaciones más sencillas para despejar las variables: 1. De la posición $(1,2)$: $x + 1 = 0 \implies \mathbf{x = -1}$ 2. De la posición $(2,2)$: $y + 7 = 7 \implies \mathbf{y = 0}$ 3. De la posición $(3,2)$: $z + 2 = 3 \implies \mathbf{z = 1}$ Ahora debemos comprobar que estos valores cumplen el resto de ecuaciones: - Posición $(1,3)$: $-(-1) + 3 = 1 + 3 = 4$ (Correcto) - Posición $(2,3)$: $-(0) + 6 = 6$ (Correcto) - Posición $(3,3)$: $-(1) + 3 = 2$ (Correcto) - Posición $(1,1)$: $(-1)^2 + 0 - 1 = 1 - 1 = 0$ (Correcto) - Posición $(2,1)$: $(-1)(0) + 2(0) + 3(1) = 0 + 0 + 3 = 3$ (Correcto) - Posición $(3,1)$: $(-1)(1) + 0 = -1$ (Correcto) ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = -1, \; y = 0, \; z = 1}$$