Estudio de función racional e integral indefinida

**a) El dominio y las asíntotas de la función $f$. (3 puntos)** La función $f(x) = \frac{x}{(x+1)^2}$ es una función racional. El dominio de una función racional es todo el conjunto de los números reales excepto aquellos valores que anulan el denominador. Buscamos los puntos donde el denominador es cero: $$(x+1)^2 = 0 \implies x+1 = 0 \implies x = -1$$ Por tanto, el dominio es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en las funciones racionales, los puntos que no pertenecen al dominio son candidatos a ser asíntotas verticales. $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1\}}$$

Para comprobar si existe una asíntota vertical en $x = -1$, calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a $-1$: $$\lim_{x \to -1} \frac{x}{(x+1)^2} = \frac{-1}{(-1+1)^2} = \frac{-1}{0^+} = -\infty$$ Como el límite es infinito, existe una asíntota vertical. ✅ **Resultado (Asíntota Vertical):** $$\boxed{x = -1}$$

Buscamos la asíntota horizontal calculando el límite cuando $x$ tiende a $\pm\infty$: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{(x+1)^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2 + 2x + 1}$$ Como el grado del denominador (2) es mayor que el grado del numerador (1), el límite es cero: $$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0$$ Esto indica que existe una asíntota horizontal en $y = 0$. 💡 **Tip:** Si existe asíntota horizontal en ambos lados, no puede existir asíntota oblicua. ✅ **Resultado (Asíntota Horizontal):** $$\boxed{y = 0}$$

**b) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f$. (4 puntos)** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, calculamos la primera derivada $f'(x)$ utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(x)' \cdot (x+1)^2 - x \cdot [(x+1)^2]'}{((x+1)^2)^2}$$ Calculamos los componentes: - $(x)' = 1$ - $[(x+1)^2]' = 2(x+1) \cdot 1 = 2(x+1)$ Sustituimos: $$f'(x) = \frac{1 \cdot (x+1)^2 - x \cdot 2(x+1)}{(x+1)^4}$$ Sacamos factor común $(x+1)$ en el numerador: $$f'(x) = \frac{(x+1) [ (x+1) - 2x ]}{(x+1)^4} = \frac{x + 1 - 2x}{(x+1)^3} = \frac{1 - x}{(x+1)^3}$$ $$\boxed{f'(x) = \frac{1-x}{(x+1)^3}}$$

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$f'(x) = 0 \implies 1 - x = 0 \implies x = 1$$ Debemos estudiar el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico ($x=1$) y el punto de discontinuidad ($x=-1$): $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline 1-x & + & + & + & 0 & -\\ (x+1)^3 & - & 0 & + & + & +\\\hline f'(x) & - & \nexists & + & 0 & - \end{array}$$ Analizando los signos: - En $(-\infty, -1)$, $f'(x) \lt 0$, la función es **decreciente**. - En $(-1, 1)$, $f'(x) \gt 0$, la función es **creciente**. - En $(1, +\infty)$, $f'(x) \lt 0$, la función es **decreciente**. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente: } (-1, 1) \quad \text{Decreciente: } (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)}$$

**c) La integral $\int \frac{x}{(x+1)^2} dx$. (3 puntos)** Para resolver la integral, realizamos un cambio de variable sencillo: Sea $t = x+1$, entonces $dt = dx$ y $x = t-1$. Sustituimos en la integral: $$\int \frac{t-1}{t^2} dt = \int \left( \frac{t}{t^2} - \frac{1}{t^2} \right) dt = \int \left( \frac{1}{t} - t^{-2} \right) dt$$ Integramos término a término: $$\int \frac{1}{t} dt - \int t^{-2} dt = \ln|t| - \frac{t^{-1}}{-1} + C = \ln|t| + \frac{1}{t} + C$$ Deshacemos el cambio de variable ($t = x+1$): $$\ln|x+1| + \frac{1}{x+1} + C$$ 💡 **Tip:** También se puede resolver descomponiendo en fracciones simples, buscando $A$ y $B$ tales que $\frac{x}{(x+1)^2} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2}$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{x}{(x+1)^2} dx = \ln|x+1| + \frac{1}{x+1} + C}$$