Posiciones relativas y distancias en el espacio

**a) Las ecuaciones de la recta que pasa por el punto $P$ y es paralela a la recta $r$. (3 puntos)** Para definir una recta necesitamos un punto y un vector director. El enunciado nos da el punto $P(0, 3, -2)$. Como la recta buscada, a la que llamaremos $t$, es paralela a $r$, su vector director $\vec{v}_t$ será el mismo que el de $r$ (o uno proporcional). Extraemos el vector director de $r$ de los denominadores de su ecuación continua: $$\vec{v}_t = \vec{v}_r = (3, -1, 2)$$ Utilizando el punto $P(0, 3, -2)$ y el vector $\vec{v}_t(3, -1, 2)$, escribimos la ecuación de la recta $t$ en forma paramétrica: $$t: \begin{cases} x = 0 + 3k \\ y = 3 - k \\ z = -2 + 2k \end{cases} \implies \begin{cases} x = 3k \\ y = 3 - k \\ z = -2 + 2k \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que dos rectas son paralelas si tienen vectores directores proporcionales. La forma más sencilla de escribir la recta es usar el mismo vector. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t: \begin{cases} x = 3k \\ y = 3 - k \\ z = -2 + 2k \end{cases}}$$

**b) La ecuación del plano que contiene a la recta $r$ y es paralelo a la recta $s$. (4 puntos)** Antes de hallar el plano $\pi$, identificamos los elementos característicos de las rectas dadas: **Recta $r$:** - Punto $A_r(-1, 1, 0)$ - Vector director $\vec{v}_r = (3, -1, 2)$ **Recta $s$:** - Punto $A_s(1, 0, 0)$ - Vector director $\vec{v}_s = (1, -1, 0)$ Para que un plano $\pi$ contenga a $r$ y sea paralelo a $s$, su vector normal $\vec{n}_\pi$ debe ser perpendicular a los vectores directores de ambas rectas.

Calculamos el vector normal $\vec{n}_\pi$ mediante el producto vectorial de $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos el determinante por Sarrus (o por adjuntos de la primera fila): $$\vec{n}_\pi = \vec{i}(0 - (-2)) - \vec{j}(0 - 2) + \vec{k}(-3 - (-1))$$ $$\vec{n}_\pi = 2\vec{i} + 2\vec{j} - 2\vec{k}$$ $$\vec{n}_\pi = (2, 2, -2)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional: $\vec{n}_\pi = (1, 1, -1)$. 💡 **Tip:** El producto vectorial de dos vectores da como resultado un tercer vector perpendicular a ambos, que es ideal para actuar como vector normal de un plano.

La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$. Usando el vector normal $(1, 1, -1)$ tenemos: $$1x + 1y - 1z + D = 0 \implies x + y - z + D = 0$$ Como el plano contiene a la recta $r$, debe contener al punto $A_r(-1, 1, 0)$. Sustituimos el punto en la ecuación para hallar $D$: $$-1 + 1 - 0 + D = 0 \implies D = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi: x + y - z = 0}$$

**c) La distancia entre las rectas $r$ y $s$. (3 puntos)** Dado que en el apartado anterior hemos hallado un plano $\pi$ que contiene a $r$ y es paralelo a $s$, la distancia entre las dos rectas es igual a la distancia de cualquier punto de la recta $s$ al plano $\pi$. Tomamos el punto $A_s(1, 0, 0)$ de la recta $s$ y el plano $\pi: x + y - z = 0$. La fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es: $$d(A_s, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos los valores: $$d(r, s) = d(A_s, \pi) = \frac{|1\cdot 1 + 1\cdot 0 - 1\cdot 0 + 0|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}}$$ $$d(r, s) = \frac{|1|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(r, s) = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** Si no hubieras calculado el plano paralelo en el apartado b, podrías usar la fórmula del volumen del paralelepípedo: $d(r, s) = \frac{|[\vec{A_rA_s}, \vec{v}_r, \vec{v}_s]|}{ |\vec{v}_r \times \vec{v}_s|}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, s) = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577\text{ u}}$$