Discusión y resolución de un sistema con parámetro real

Para resolver y discutir el sistema, primero lo expresamos en forma matricial $A \cdot X = B$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -\alpha \\ 2 & \alpha & -1 \end{pmatrix}; \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}; \quad B = \begin{pmatrix} \alpha \\ 1 \\ 2\alpha + 3 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $|A|$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -\alpha \\ 2 & \alpha & -1 \end{vmatrix} = [1 \cdot 1 \cdot (-1) + 3 \cdot (-\alpha) \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot \alpha] - [1 \cdot 1 \cdot 2 + (-\alpha) \cdot \alpha \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \cdot 3]$$ $$|A| = (-1 - 6\alpha + \alpha) - (2 - \alpha^2 - 3) = (-1 - 5\alpha) - (-1 - \alpha^2)$$ $$|A| = \alpha^2 - 5\alpha$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos del parámetro: $$\alpha^2 - 5\alpha = 0 \implies \alpha(\alpha - 5) = 0 \implies \alpha = 0, \alpha = 5$$ 💡 **Tip:** El determinante nos indica si el sistema tiene solución única. Si $|A| \neq 0$, el sistema es Compatible Determinado (SCD) según el **Teorema de Rouché-Frobenius**.

**a) La solución del sistema cuando $\alpha = -1$. (3 puntos)** Si $\alpha = -1$, el determinante es $|A| = (-1)^2 - 5(-1) = 6 \neq 0$, por lo que el sistema es **Compatible Determinado**. Sustituimos $\alpha = -1$ en el sistema: $$\begin{cases} x + 3y + z = -1 \\ x + y + z = 1 \\ 2x - y - z = 1 \end{cases}$$ Resolvemos por la regla de Cramer: $$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix}}{6} = \frac{[1 + 3 - 1] - [1 + 1 - 3]}{6} = \frac{3 - (-1)}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ $$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}}{6} = \frac{[-1 - 2 + 1] - [2 + 1 + 1]}{6} = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$$ $$z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}}{6} = \frac{[1 + 6 + 1] - [-2 - 1 + 3]}{6} = \frac{8 - 0}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = \frac{2}{3}, \quad y = -1, \quad z = \frac{4}{3}}$$

**b) Todas las soluciones del sistema cuando $\alpha = 0$. (3 puntos)** Si $\alpha = 0$, el determinante $|A| = 0$. Veamos los rangos de $A$ y $A^*$ (ampliada): $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & -1 & 3 \end{array}\right)$$ Como el menor $\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 3 = -2 \neq 0$, entonces $\text{rg}(A) = 2$. Calculamos el rango de $A^*$ comprobando el menor que incluye la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{vmatrix} = [3 + 6 + 0] - [0 + 0 + 9] = 9 - 9 = 0$$ Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$ (nº incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado**. Para resolverlo, usamos las dos últimas ecuaciones (que son linealmente independientes) y tomamos $x = \lambda$ como parámetro: 1) $x + y = 1 \implies y = 1 - \lambda$ 2) $2x - z = 3 \implies z = 2\lambda - 3$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 2\lambda - 3 \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

**c) El valor de $\alpha$ para el que el sistema es incompatible. (4 puntos)** Un sistema es incompatible si $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$. Según el paso 1, esto solo puede ocurrir si $|A| = 0$, es decir, si $\alpha = 0$ o $\alpha = 5$. - Ya hemos visto en el apartado (b) que para **$\alpha = 0$ el sistema es Compatible Indeterminado**. - Analizamos ahora **$\alpha = 5$**: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 5 \\ 1 & 1 & -5 & 1 \\ 2 & 5 & -1 & 13 \end{array}\right)$$ Sabemos que $\text{rg}(A) = 2$ porque el menor $\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$. Comprobamos el rango de $A^*$ con el menor formado por las dos primeras columnas y la de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & 13 \end{vmatrix} = [13 + 6 + 25] - [10 + 5 + 39] = 44 - 54 = -10 \neq 0$$ Como $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A^*) = 3$, por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema no tiene solución. 💡 **Tip:** Siempre que $|A|=0$, comprueba si el sistema es SCI (infinitas soluciones) o SI (sin solución) comparando los rangos con la matriz ampliada. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = 5}$$