Rango de una matriz y determinante con parámetro

**a) (1,25 puntos) Hallar el rango de $A$ en función de $t$.** Para estudiar el rango de la matriz $A$, primero calculamos su determinante en función del parámetro $t$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & t & 2 \\ 3 & -1 & t \end{vmatrix} = (1 \cdot t \cdot t) + (2 \cdot 2 \cdot 3) + (3 \cdot 0 \cdot (-1)) - (3 \cdot t \cdot 3) - (2 \cdot 0 \cdot t) - (1 \cdot 2 \cdot (-1))$$ Operamos cada término: $$|A| = t^2 + 12 + 0 - 9t - 0 + 2 = t^2 - 9t + 14$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $t$: $$t^2 - 9t + 14 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$t = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{9 \pm 5}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: $$t_1 = \frac{14}{2} = 7, \quad t_2 = \frac{4}{2} = 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Si el determinante de una matriz $3 \times 3$ es distinto de cero, su rango es 3. $$\boxed{|A| = 0 \iff t = 2 \text{ o } t = 7}$$

Analizamos el rango de $A$ para los distintos valores de $t$: **Caso 1: $t \neq 2$ y $t \neq 7$** En este caso, $|A| \neq 0$, por lo que la matriz es regular y su rango es máximo. $$\text{rg}(A) = 3$$ **Caso 2: $t = 2$** La matriz queda como $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix}$. Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \neq 0$$ Por tanto, $\text{rg}(A) = 2$. **Caso 3: $t = 7$** La matriz queda como $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 7 & 2 \\ 3 & -1 & 7 \end{pmatrix}$. Sabemos que $|A| = 0$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 7 \end{vmatrix} = 7 \neq 0$$ Por tanto, $\text{rg}(A) = 2$. ✅ **Resultado (Rango):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } t \neq 2 \text{ y } t \neq 7, & \text{rg}(A) = 3 \\ \text{Si } t = 2 \text{ o } t = 7, & \text{rg}(A) = 2 \end{cases}}$$

**b) (0,75 puntos) Calcular $t$ para que $\det(A - tI) = 0$.** Primero construimos la matriz $A - tI$, restando $t$ en los elementos de la diagonal principal de $A$: $$A - tI = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & t & 2 \\ 3 & -1 & t \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} t & 0 & 0 \\ 0 & t & 0 \\ 0 & 0 & t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-t & 2 & 3 \\ 0 & t-t & 2 \\ 3 & -1 & t-t \end{pmatrix}$$ Simplificando: $$A - tI = \begin{pmatrix} 1-t & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \\ 3 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La matriz $I$ es la identidad, que tiene 1 en la diagonal y 0 en el resto. Al multiplicar por $t$, tenemos $t$ en la diagonal.

Calculamos el determinante de la matriz resultante. Para facilitar el cálculo, desarrollamos por la segunda fila, ya que tiene dos ceros: $$\det(A - tI) = \begin{vmatrix} 1-t & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \\ 3 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollo por la fila 2 (atención a los signos: $-, +, -$): $$\det(A - tI) = -2 \cdot \begin{vmatrix} 1-t & 2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el menor de orden 2: $$\det(A - tI) = -2 \cdot [ (1-t)(-1) - (2 \cdot 3) ]$$ $$\det(A - tI) = -2 \cdot [ -1 + t - 6 ] = -2(t - 7) = -2t + 14$$ Para que el determinante sea cero: $$-2t + 14 = 0 \implies -2t = -14 \implies t = 7$$ 💡 **Tip:** Al desarrollar por una fila o columna, recuerda que el signo del término $a_{ij}$ es $(-1)^{i+j}$. Para el elemento $a_{23}=2$, el signo es $(-1)^{2+3} = -1$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{t = 7}$$