Potencias de matrices y ecuaciones matriciales

**a) (1 punto) Calcular $A^{15}$ y $A^{20}$.** Para calcular potencias elevadas de una matriz, primero calculamos las primeras potencias para ver si existe algún patrón o si la matriz es cíclica. Calculamos $A^2$: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ Donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. 💡 **Tip:** Si una matriz cumple que $A^2 = I$, se dice que es una matriz involutiva. Esto simplifica enormemente el cálculo de cualquier potencia $n$.

Como $A^2 = I$, podemos deducir el comportamiento de las potencias superiores: - Si $n$ es par: $A^n = (A^2)^{n/2} = I^{n/2} = I$. - Si $n$ es impar: $A^n = A^{n-1} \cdot A = I \cdot A = A$. En nuestro caso: - Para $A^{15}$, como $15$ es impar: $$A^{15} = A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ - Para $A^{20}$, como $20$ es par: $$A^{20} = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{15} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad A^{20} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) (1 punto) Resolver la ecuación matricial $6X = B - 3AX$, donde $X$ es una matriz cuadrada de orden 3.** Primero, agrupamos los términos que contienen $X$ en un lado de la igualdad: $$6X + 3AX = B$$ Factorizamos la matriz $X$ por la derecha (es muy importante el orden en el producto de matrices): $$(6I + 3A)X = B$$ Podemos simplificar la ecuación dividiendo por 3 en ambos lados (ya que $B = 3I$ y todos los coeficientes son múltiplos de 3): $$3(2I + A)X = B \implies (2I + A)X = \frac{1}{3}B$$ Como $B = 3I$, entonces $\frac{1}{3}B = I$. La ecuación queda: $$(2I + A)X = I$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, para despejar $X$ en $MX=N$, si $M$ tiene inversa, entonces $X = M^{-1}N$.

Llamamos $M = 2I + A$. Calculamos sus elementos: $$M = 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Para que $X$ sea la solución de $MX = I$, $X$ debe ser la matriz inversa de $M$ ($X = M^{-1}$). Calculamos el determinante de $M$: $$|M| = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ Desarrollando por la segunda fila (que tiene ceros): $$|M| = 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3(4 - 1) = 9$$ Como $|M| \neq 0$, la matriz es invertible y la solución es única.

Calculamos $X = M^{-1}$ usando la fórmula $M^{-1} = \frac{1}{|M|} (\text{adj}(M))^t$. Calculamos los adjuntos de $M$: $M_{11} = + \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 6 \quad M_{12} = - \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 0 \quad M_{13} = + \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -3$ $M_{21} = - \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 0 \quad M_{22} = + \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3 \quad M_{23} = - \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ $M_{31} = + \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = -3 \quad M_{32} = - \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 \quad M_{33} = + \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 6$ La matriz adjunta es: $$\text{adj}(M) = \begin{pmatrix} 6 & 0 & -3 \\ 0 & 3 & 0 \\ -3 & 0 & 6 \end{pmatrix}$$ Al ser simétrica, su traspuesta es igual: $$X = M^{-1} = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 6 & 0 & -3 \\ 0 & 3 & 0 \\ -3 & 0 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/3 & 0 & -1/3 \\ 0 & 1/3 & 0 \\ -1/3 & 0 & 2/3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 2/3 & 0 & -1/3 \\ 0 & 1/3 & 0 \\ -1/3 & 0 & 2/3 \end{pmatrix}}$$