Continuidad, derivabilidad e integración de una función a trozos

**a) (1 punto) Estudiar la continuidad de $f$.** Analizamos la continuidad de la función en cada una de sus ramas: 1. **En el intervalo $(-\infty, 0)$:** La función está definida por $f(x) = \frac{\text{sen } x}{x}$. Esta función es un cociente de dos funciones continuas (trigonométrica y polinómica). El único punto donde el denominador se anula es $x = 0$, pero este punto no pertenece a este intervalo. Por tanto, $f$ es continua en $(-\infty, 0)$. 2. **En el intervalo $(0, +\infty)$:** La función está definida por $f(x) = xe^x + 1$. Es una suma de un producto de funciones continuas (polinómica y exponencial) y una constante. Por tanto, $f$ es continua en $(0, +\infty)$. 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua si lo es en cada rama y en los puntos de salto entre ramas.

Para que $f$ sea continua en $x = 0$, deben coincidir el valor de la función y los límites laterales: 1. **Valor de la función:** $$f(0) = 0 \cdot e^0 + 1 = 1$$ 2. **Límite por la izquierda:** $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\text{sen } x}{x} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Aplicando la regla de L'Hôpital: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{\text{sen } x}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{(\text{sen } x)'}{(x)'} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\cos x}{1} = \cos(0) = 1$$ 3. **Límite por la derecha:** $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (xe^x + 1) = 0 \cdot e^0 + 1 = 1$$ Como $f(0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$, la función es continua en $x = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en todo } \mathbb{R}}$$

**b) (1 punto) Estudiar la derivabilidad de $f$ y calcular $f'$ donde sea posible.** Primero, calculamos la derivada en las ramas abiertas $(x \neq 0)$: - Para $x \lt 0$, usamos la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(\text{sen } x)' \cdot x - \text{sen } x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{x\cos x - \text{sen } x}{x^2}$$ - Para $x \gt 0$, usamos la regla del producto: $$f'(x) = (x)' \cdot e^x + x \cdot (e^x)' + (1)' = 1 \cdot e^x + xe^x + 0 = (x+1)e^x$$ La función derivada queda: $$f'(x)=\begin{cases} \frac{x\cos x - \text{sen } x}{x^2} & \text{si } x \lt 0, \\ (x+1)e^x & \text{si } x \gt 0. \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para derivar un cociente $\frac{u}{v}$, la fórmula es $\frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Para que la función sea derivable en $x = 0$, los límites laterales de $f'(x)$ deben existir y ser iguales (ya sabemos que es continua): 1. **Derivada por la derecha ($f'(0^+)$):** $$\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} (x+1)e^x = (0+1)e^0 = 1$$ 2. **Derivada por la izquierda ($f'(0^-)$):** $$\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x\cos x - \text{sen } x}{x^2} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Aplicando la regla de L'Hôpital: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{(x\cos x - \text{sen } x)'}{(x^2)'} = \lim_{x \to 0^-} \frac{1 \cdot \cos x - x\text{sen } x - \cos x}{2x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x\text{sen } x}{2x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-\text{sen } x}{2} = \frac{0}{2} = 0$$ Como $f'(0^+) = 1$ y $f'(0^-) = 0$, los límites laterales no coinciden. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es derivable en } \mathbb{R} \setminus \{0\}. \text{ En } x = 0 \text{ no es derivable.}}$$

**c) (1 punto) Calcular $\int_{1}^{3} f(x) dx$.** El intervalo de integración es $[1, 3]$. En este intervalo, $x \gt 0$, por lo que usamos la segunda rama de la función: $f(x) = xe^x + 1$. $$\int_{1}^{3} f(x) dx = \int_{1}^{3} (xe^x + 1) dx = \int_{1}^{3} xe^x dx + \int_{1}^{3} 1 dx$$ Para resolver $\int xe^x dx$, utilizamos el método de **integración por partes**: Sea $u = x \implies du = dx$ Sea $dv = e^x dx \implies v = e^x$ $$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x = (x-1)e^x$$ 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Sumamos la integral inmediata del término constante y aplicamos la Regla de Barrow: $$F(x) = (x-1)e^x + x$$ $$\int_{1}^{3} f(x) dx = \left[ (x-1)e^x + x \right]_{1}^{3}$$ Calculamos los valores en los límites: - Para $x = 3$: $F(3) = (3-1)e^3 + 3 = 2e^3 + 3$ - Para $x = 1$: $F(1) = (1-1)e^1 + 1 = 0 + 1 = 1$ Restamos los resultados: $$\int_{1}^{3} f(x) dx = (2e^3 + 3) - 1 = 2e^3 + 2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int_{1}^{3} f(x) dx = 2e^3 + 2 \approx 42.17}$$