Geometría en el espacio: puntos, rectas y proyecciones

**a) (1 punto) Determinar un punto $Q$ de la recta $r$, de modo que su proyección $Q'$ sobre $OP$ sea el punto medio de este segmento.** Primero, identificamos los elementos básicos. El origen es $O(0,0,0)$ y el punto dado es $P(-4, 6, 6)$. El punto medio del segmento $OP$, al que llamaremos $M$, se calcula como: $$M = \frac{O + P}{2} = \left( \frac{0 - 4}{2}, \frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 6}{2} \right) = (-2, 3, 3).$$ Cualquier punto $Q$ perteneciente a la recta $r$ tiene la forma paramétrica: $$Q(-4 + 4\lambda, 8 + 3\lambda, -2\lambda).$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la proyección de un punto $Q$ sobre una recta (en este caso la recta que pasa por $O$ y $P$) es el punto de esa recta más cercano a $Q$. Si esa proyección es $M$, entonces el vector $\vec{MQ}$ debe ser perpendicular al vector director de la recta de proyección, $\vec{OP}$. $$\boxed{M(-2, 3, 3), \quad \vec{OP} = (-4, 6, 6)}$$

Para que la proyección de $Q$ sobre el segmento $OP$ sea $M$, el vector $\vec{MQ}$ debe ser perpendicular al vector $\vec{OP}$. Calculamos el vector $\vec{MQ}$: $$\vec{MQ} = Q - M = (-4 + 4\lambda - (-2), 8 + 3\lambda - 3, -2\lambda - 3) = (4\lambda - 2, 3\lambda + 5, -2\lambda - 3).$$ La condición de perpendicularidad es que el producto escalar sea cero: $$\vec{MQ} \cdot \vec{OP} = 0$$ $$(4\lambda - 2)(-4) + (3\lambda + 5)(6) + (-2\lambda - 3)(6) = 0$$ $$-16\lambda + 8 + 18\lambda + 30 - 12\lambda - 18 = 0$$ $$-10\lambda + 20 = 0 \implies 10\lambda = 20 \implies \lambda = 2.$$ Sustituimos $\lambda = 2$ en las coordenadas de $Q$: $$Q = (-4 + 4(2), 8 + 3(2), -2(2)) = (4, 14, -4).$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{Q(4, 14, -4)}$$

**b) (1 punto) Determinar la distancia de $P$ a $r$.** Para hallar la distancia de un punto $P$ a una recta $r$, utilizaremos la fórmula basada en el producto vectorial: $$d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v_r}|}{|\vec{v_r}|}$$ donde $A$ es un punto de la recta $r$ y $\vec{v_r}$ es su vector director. De la ecuación de $r \equiv \begin{cases} x = -4 + 4\lambda \\ y = 8 + 3\lambda \\ z = -2\lambda \end{cases}$, obtenemos: - Punto de la recta: $A(-4, 8, 0)$ - Vector director: $\vec{v_r} = (4, 3, -2)$ Calculamos el vector $\vec{AP}$ siendo $P(-4, 6, 6)$: $$\vec{AP} = P - A = (-4 - (-4), 6 - 8, 6 - 0) = (0, -2, 6).$$ 💡 **Tip:** La distancia representa la longitud del segmento perpendicular desde el punto a la recta.

Calculamos el producto vectorial $\vec{AP} \times \vec{v_r}$ mediante un determinante: $$\vec{AP} \times \vec{v_r} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & -2 & 6 \\ 4 & 3 & -2 \end{vmatrix}$$ Desarrollando por Sarrus: $$\vec{AP} \times \vec{v_r} = [(-2)(-2)\vec{i} + (6)(4)\vec{j} + (0)(3)\vec{k}] - [(4)(-2)\vec{k} + (3)(6)\vec{i} + (-2)(0)\vec{j}]$$ $$= [4\vec{i} + 24\vec{j} + 0\vec{k}] - [-8\vec{k} + 18\vec{i} + 0\vec{j}] = (4-18)\vec{i} + 24\vec{j} + 8\vec{k}$$ $$\vec{AP} \times \vec{v_r} = (-14, 24, 8).$$ Calculamos los módulos: $$|\vec{AP} \times \vec{v_r}| = \sqrt{(-14)^2 + 24^2 + 8^2} = \sqrt{196 + 576 + 64} = \sqrt{836}$$ $$|\vec{v_r}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29}$$ La distancia es: $$d(P, r) = \frac{\sqrt{836}}{\sqrt{29}} = \sqrt{\frac{836}{29}} \approx 5.37 \text{ unidades.}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, r) = \sqrt{\frac{836}{29}} \text{ u}}$$

**c) (1 punto) ¿Existe algún punto $R$ de la recta $r$, de modo que los puntos $O, P$ y $R$ estén alineados? En caso afirmativo, encontrar el punto (o los puntos) con esa propiedad o, en caso negativo, justificar la no existencia.** Para que $O, P$ y $R$ estén alineados, el punto $R$ debe pertenecer a la recta que pasa por $O$ y $P$. Llamemos a esta recta $s$. Como $O(0,0,0)$, el vector director de $s$ es $\vec{OP} = (-4, 6, 6)$. Sus ecuaciones paramétricas son: $$s \equiv \begin{cases} x = -4\mu \\ y = 6\mu \\ z = 6\mu \end{cases}$$ Buscamos si existe un punto común entre $r$ y $s$ igualando sus coordenadas: 1) $-4 + 4\lambda = -4\mu \implies 1 - \lambda = \mu$ 2) $8 + 3\lambda = 6\mu$ 3) $-2\lambda = 6\mu \implies \mu = -\frac{\lambda}{3}$ Igualamos las expresiones de $\mu$ de (1) y (3): $$1 - \lambda = -\frac{\lambda}{3} \implies 3 - 3\lambda = -\lambda \implies 3 = 2\lambda \implies \lambda = \frac{3}{2}$$ Si $\lambda = 3/2$, entonces $\mu = 1 - 3/2 = -1/2$. Comprobamos en la ecuación (2): $$8 + 3\left(\frac{3}{2}\right) = 8 + 4.5 = 12.5$$ $$6\mu = 6\left(-\frac{1}{2}\right) = -3$$ Como $12.5 \neq -3$, el sistema es **incompatible**. 💡 **Tip:** Tres puntos están alineados si el vector formado por dos de ellos es proporcional al vector formado por otros dos. En este caso, no existe ningún valor de $\lambda$ que haga que $\vec{OR}$ sea proporcional a $\vec{OP}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe ningún punto } R \in r \text{ tal que } O, P, R \text{ estén alineados.}}$$