Planos tangentes a una esfera paralelos a un plano dado

Para resolver el problema, primero debemos identificar el centro y el radio de la esfera a partir de su ecuación canónica. La ecuación de una esfera con centro $C(x_0, y_0, z_0)$ y radio $R$ es: $$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$$ Dada la ecuación $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = 9$, comparamos términos: - Centro: $C = (1, 1, 2)$ - Radio: $R^2 = 9 \implies R = \sqrt{9} = 3$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación de la esfera, los valores que acompañan a $x, y, z$ dentro de los cuadrados cambian de signo para determinar las coordenadas del centro.

Buscamos planos $\pi'$ que sean paralelos al plano dado $\pi \equiv x - 2y + 2z + 1 = 0$. Dos planos son paralelos si sus vectores normales son proporcionales (o iguales). El vector normal de $\pi$ es $\vec{n} = (1, -2, 2)$. Por tanto, cualquier plano paralelo a $\pi$ tendrá la forma: $$\pi' \equiv x - 2y + 2z + D = 0$$ donde $D$ es el parámetro que debemos determinar. 💡 **Tip:** Si un plano tiene ecuación $Ax + By + Cz + D = 0$, todos sus planos paralelos comparten los coeficientes $A, B$ y $C$, variando únicamente el término independiente $D$.

Un plano es tangente a una esfera si la distancia desde el centro de la esfera al plano es igual al radio de la esfera. La condición matemática es: $$d(C, \pi') = R$$ Utilizamos la fórmula de la distancia de un punto $P(x_1, y_1, z_1)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(P, \pi') = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos los datos de nuestro problema ($C(1, 1, 2)$, $R=3$ y el plano $\pi'$): $$\frac{|1(1) - 2(1) + 2(2) + D|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = 3$$

Operamos en la expresión de la distancia: $$\frac{|1 - 2 + 4 + D|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 3$$ $$\frac{|3 + D|}{\sqrt{9}} = 3 \implies \frac{|3 + D|}{3} = 3$$ $$|3 + D| = 9$$ Esta ecuación con valor absoluto tiene dos posibles soluciones: 1. $3 + D = 9 \implies D = 6$ 2. $3 + D = -9 \implies D = -12$ 💡 **Tip:** Es lógico obtener dos soluciones, ya que existen dos planos paralelos a uno dado que son tangentes a una misma esfera (uno a cada lado del centro).

Sustituimos los valores de $D$ obtenidos en la ecuación general de la familia de planos paralelos $\pi' \equiv x - 2y + 2z + D = 0$. Para $D = 6$: $$\pi_1 \equiv x - 2y + 2z + 6 = 0$$ Para $D = -12$: $$\pi_2 \equiv x - 2y + 2z - 12 = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} \pi_1 \equiv x - 2y + 2z + 6 = 0 \\ \pi_2 \equiv x - 2y + 2z - 12 = 0 \end{cases}}$$