Volumen de paralelepípedo y geometría de rectas y planos

**a) (1 punto) Dados los vectores $\vec{u} = (2, 3, 4)$, $\vec{v} = (-1, -1, -1)$ y $\vec{w} = (-1, \lambda, -5)$, encontrar los valores de $\lambda$ que hacen que el paralelepípedo $P$ generado por $\vec{u}, \vec{v}$ y $\vec{w}$ tenga volumen 6.** El volumen de un paralelepípedo generado por tres vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ se calcula como el valor absoluto de su producto mixto: $$V = |[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]|$$ El producto mixto se obtiene calculando el determinante de la matriz formada por los componentes de los vectores. 💡 **Tip:** Recuerda que el producto mixto representa el volumen orientado. Por eso, para obtener el volumen físico (siempre positivo), debemos aplicar el valor absoluto al resultado del determinante.

Calculamos el determinante de la matriz formada por los vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ utilizando la regla de Sarrus: $$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ -1 & -1 & -1 \\ -1 & \lambda & -5 \end{vmatrix}$$ $$= [2 \cdot (-1) \cdot (-5) + 3 \cdot (-1) \cdot (-1) + 4 \cdot (-1) \cdot \lambda] - [4 \cdot (-1) \cdot (-1) + 3 \cdot (-1) \cdot (-5) + 2 \cdot (-1) \cdot \lambda]$$ $$= [10 + 3 - 4\lambda] - [4 + 15 - 2\lambda]$$ $$= 13 - 4\lambda - (19 - 2\lambda) = 13 - 4\lambda - 19 + 2\lambda = -2\lambda - 6$$ $$\text{Producto Mixto} = -2\lambda - 6$$

Igualamos el valor absoluto del producto mixto al volumen dado ($V = 6$): $$|-2\lambda - 6| = 6$$ Esto nos genera dos posibles casos: **Caso 1:** $$-2\lambda - 6 = 6 \implies -2\lambda = 12 \implies \lambda = -6$$ **Caso 2:** $$-2\lambda - 6 = -6 \implies -2\lambda = 0 \implies \lambda = 0$$ ✅ **Resultado (valores de $\lambda$):** $$\boxed{\lambda_1 = -6, \quad \lambda_2 = 0}$$

**b) (1 punto) Obtener la ecuación de la recta incluida en el plano $z = 0$, con dirección perpendicular a $\vec{u} = (2, -1, 4)$ y que pasa por el punto $(1, 1, 0)$.** Sea $r$ la recta que buscamos. Debe cumplir tres condiciones: 1. Pasa por el punto $A(1, 1, 0)$. 2. Está contenida en el plano $\pi \equiv z = 0$. Esto implica que su vector director $\vec{d_r} = (d_x, d_y, d_z)$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n_\pi} = (0, 0, 1)$. Por tanto, **$d_z = 0$**. 3. Su dirección es perpendicular a $\vec{u} = (2, -1, 4)$. Esto significa que el producto escalar $\vec{d_r} \cdot \vec{u} = 0$. 💡 **Tip:** Si una recta está contenida en un plano, cualquier vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano.

Podemos hallar el vector director $\vec{d_r}$ realizando el producto vectorial entre el vector $\vec{u}$ y el vector normal del plano $\vec{n_\pi}$, ya que $\vec{d_r}$ debe ser perpendicular a ambos simultáneamente: $$\vec{d_r} = \vec{u} \times \vec{n_\pi} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos por adjuntos de la primera fila: $$\vec{d_r} = \vec{i} \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}$$ $$\vec{d_r} = \vec{i}(-1) - \vec{j}(2) + \vec{k}(0) = (-1, -2, 0)$$ Para trabajar con valores más sencillos, podemos usar el vector proporcional: $\vec{v_r} = (1, 2, 0)$.

Con el punto $A(1, 1, 0)$ y el vector director $\vec{v_r} = (1, 2, 0)$, escribimos la ecuación de la recta. Podemos usar la forma paramétrica: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + k \\ y = 1 + 2k \\ z = 0 \end{cases} \quad k \in \mathbb{R}$$ O bien, en su forma continua: $$r \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{2}; \quad z = 0$$ ✅ **Resultado (ecuación de la recta):** $$\boxed{r \equiv (x, y, z) = (1, 1, 0) + k(1, 2, 0)}$$