Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**a) (2 puntos) Discutir, según los valores de $m$, el sistema de ecuaciones siguiente:** Comenzamos escribiendo la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 4 & 3 & m-1 \\ 1 & -2 & m \\ 5 & m & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 4 & 3 & m-1 & 0 \\ 1 & -2 & m & 1 \\ 5 & m & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**, por lo que el primer paso es calcular el determinante de la matriz $A$ para ver cuándo su rango es máximo. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Capelli nos dice que si $rg(A) = rg(A^*) = n$ (incógnitas), el sistema es Compatible Determinado; si $rg(A) = rg(A^*) < n$ es Compatible Indeterminado; y si $rg(A) \neq rg(A^*)$ es Incompatible.

Calculamos $|A|$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 4 & 3 & m-1 \\ 1 & -2 & m \\ 5 & m & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [4(-2)(1) + (3)(m)(5) + (1)(m)(m-1)] - [5(-2)(m-1) + (m)(m)(4) + (1)(3)(1)]$$ $$|A| = [-8 + 15m + m^2 - m] - [-10m + 10 + 4m^2 + 3]$$ $$|A| = (m^2 + 14m - 8) - (4m^2 - 10m + 13)$$ $$|A| = -3m^2 + 24m - 21$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $m$: $$-3m^2 + 24m - 21 = 0 \implies m^2 - 8m + 7 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$m = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(7)}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2} = \frac{8 \pm 6}{2}$$ Obtenemos los valores **$m = 7$** y **$m = 1$**. $$\boxed{|A| = 0 \iff m = 1, m = 7}$$

**Caso 1: $m \neq 1$ y $m \neq 7$** Si $m$ es distinto de $1$ y $7$, el determinante de $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Esto implica que el rango de la matriz $A$ es $3$. Como la matriz ampliada $A^*$ es una matriz de $3 \times 4$, su rango máximo también es $3$. Por tanto, $rg(A) = rg(A^*) = 3$, que coincide con el número de incógnitas. ✅ **Resultado (Caso 1):** $$\boxed{\text{Si } m \in \mathbb{R} \setminus \{1, 7\}, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

**Caso 2: $m = 1$** Sustituimos $m = 1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 4 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $rg(A) < 3$. Buscamos un menor de orden $2$ no nulo: $$\begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -8 - 3 = -11 \neq 0 \implies rg(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$. Observamos si la tercera fila es combinación de las anteriores. Si sumamos la fila 1 y la fila 2: $$(4, 3, 0 | 0) + (1, -2, 1 | 1) = (5, 1, 1 | 1)$$ Que es exactamente la fila 3. Por lo tanto, $rg(A^*) = 2$. Como $rg(A) = rg(A^*) = 2 \lt 3$ (nº incógnitas): ✅ **Resultado (Caso 2):** $$\boxed{\text{Si } m = 1, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

**Caso 3: $m = 7$** Sustituimos $m = 7$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 4 & 3 & 6 & 0 \\ 1 & -2 & 7 & 1 \\ 5 & 7 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Al igual que antes, $|A| = 0$, y el menor $\begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -11 \neq 0$ sigue siendo válido, luego $rg(A) = 2$. Estudiamos el rango de $A^*$ calculando un determinante de orden $3$ usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 4 & 3 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \\ 5 & 7 & 1 \end{vmatrix} = [4(-2)(1) + 3(1)(5) + 0] - [5(-2)(0) + 7(1)(4) + 1(3)(1)]$$ $$= (-8 + 15) - (0 + 28 + 3) = 7 - 31 = -24 \neq 0$$ Como existe un menor de orden $3$ no nulo en $A^*$, $rg(A^*) = 3$. Como $rg(A) = 2 \neq rg(A^*) = 3$: ✅ **Resultado (Caso 3):** $$\boxed{\text{Si } m = 7, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$

**b) (1 punto) Resolver el sistema anterior para el caso $m = 1$.** Como hemos visto, para $m = 1$ el sistema es **Compatible Indeterminado** y la tercera ecuación es redundante ($F_3 = F_1 + F_2$). Trabajamos con las dos primeras ecuaciones: $$\begin{cases} 4x + 3y = 0 \\ x - 2y + z = 1 \end{cases}$$ Tomamos $x$ como parámetro, $x = \lambda$. De la primera ecuación: $$3y = -4x \implies y = -\frac{4}{3}\lambda$$ Sustituimos en la segunda para hallar $z$: $$\lambda - 2\left(-\frac{4}{3}\lambda\right) + z = 1 \implies \lambda + \frac{8}{3}\lambda + z = 1$$ $$z = 1 - \frac{11}{3}\lambda$$ Para evitar fracciones, podemos tomar $x = 3\lambda$, entonces: $y = -4\lambda$ $z = 1 - 11\lambda$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(x, y, z) = (3\lambda, -4\lambda, 1 - 11\lambda) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$