Estudio de función, asíntotas, recta tangente e integración

**a) (1,5 puntos) Determinar el dominio de $f$ y sus asíntotas.** Para determinar el dominio de $f(x) = \frac{x}{x^2 - 4} + \frac{\ln(x + 1)}{x + 1}$, debemos analizar las restricciones de cada sumando: 1. **Primer sumando** $\frac{x}{x^2 - 4}$: El denominador no puede ser cero. $$x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = 2, \, x = -2$$ 2. **Segundo sumando** $\frac{\ln(x + 1)}{x + 1}$: * El argumento del logaritmo debe ser positivo: $x + 1 \gt 0 \implies x \gt -1$. * El denominador no puede ser cero: $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$. Combinando todas las condiciones ($x \neq 2, x \neq -2$ y $x \gt -1$): - El valor $x = -2$ ya queda descartado por la condición $x \gt -1$. - El valor $x = 2$ debe ser excluido del intervalo $(-1, +\infty)$. 💡 **Tip:** El dominio de una suma de funciones es la intersección de los dominios de cada una. $$\boxed{\text{Dom}(f) = (-1, 2) \cup (2, +\infty)}$$

Las asíntotas verticales son candidatas en los puntos que no pertenecen al dominio pero son extremos de sus intervalos: $x = -1$ y $x = 2$. - **En $x = -1$ (por la derecha):** $$\lim_{x \to -1^+} \left( \frac{x}{x^2 - 4} + \frac{\ln(x + 1)}{x + 1} \right) = \frac{-1}{1 - 4} + \frac{-\infty}{0^+} = \frac{1}{3} - \infty = -\infty$$ Por tanto, **$x = -1$ es una asíntota vertical**. - **En $x = 2$:** $$\lim_{x \to 2} \left( \frac{x}{x^2 - 4} + \frac{\ln(x + 1)}{x + 1} \right) = \frac{2}{0} + \frac{\ln(3)}{3} = \infty$$ Analizando límites laterales: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$$ Por tanto, **$x = 2$ es una asíntota vertical**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = -1, \quad x = 2}$$

Buscamos el límite cuando $x \to +\infty$ (no tiene sentido en $-\infty$ ya que no pertenece al dominio): $$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x}{x^2 - 4} + \frac{\ln(x + 1)}{x + 1} \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x^2 - 4} + \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x + 1)}{x + 1}$$ 1. El primer límite es $0$ porque el grado del denominador es mayor que el del numerador. 2. El segundo límite es una indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$, aplicamos la regla de **L'Hôpital**: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x + 1)}{x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x+1}}{1} = \frac{0}{1} = 0$$ Como el límite es $0$, existe una asíntota horizontal en **$y = 0$**. 💡 **Tip:** Si existe asíntota horizontal cuando $x \to +\infty$, no es necesario buscar la asíntota oblicua en ese sentido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 0}$$

**b) (0,75 puntos) Calcular la recta tangente a la curva $y = f(x)$ en $x = 0$.** La ecuación de la recta tangente es $y - f(0) = f'(0)(x - 0)$. 1. **Calcular $f(0)$**: $$f(0) = \frac{0}{0^2 - 4} + \frac{\ln(0 + 1)}{0 + 1} = 0 + \frac{0}{1} = 0.$$ El punto de tangencia es **$(0, 0)$**. 2. **Calcular $f'(x)$**: $$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 - 4) - x \cdot (2x)}{(x^2 - 4)^2} + \frac{\frac{1}{x+1}(x+1) - \ln(x+1) \cdot 1}{(x+1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{-x^2 - 4}{(x^2 - 4)^2} + \frac{1 - \ln(x+1)}{(x+1)^2}$$ 3. **Calcular $f'(0)$**: $$f'(0) = \frac{-0^2 - 4}{(0^2 - 4)^2} + \frac{1 - \ln(1)}{(1)^2} = \frac{-4}{16} + \frac{1}{1} = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4}.$$ 4. **Escribir la ecuación**: $$y - 0 = \frac{3}{4}(x - 0) \implies y = \frac{3}{4}x$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = \frac{3}{4}x}$$

**c) (0,75 puntos) Calcular $\int f(x) dx$.** Separamos la integral en dos partes: $$I = \int \left( \frac{x}{x^2 - 4} + \frac{\ln(x + 1)}{x + 1} \right) dx = \int \frac{x}{x^2 - 4} dx + \int \frac{\ln(x + 1)}{x + 1} dx$$ - **Primera integral $I_1$**: Es de tipo logarítmico, ajustamos el numerador para tener la derivada del denominador ($2x$): $$I_1 = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2 - 4} dx = \frac{1}{2} \ln|x^2 - 4|$$ - **Segunda integral $I_2$**: Observamos que es de la forma $\int g(x) \cdot g'(x) dx$, donde $g(x) = \ln(x+1)$ y $g'(x) = \frac{1}{x+1}$: $$I_2 = \int \ln(x + 1) \cdot \frac{1}{x+1} dx = \frac{(\ln(x+1))^2}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int f(x)^n f'(x) dx = \frac{f(x)^{n+1}}{n+1} + C$. Aquí $n=1$. Uniendo ambos resultados y añadiendo la constante de integración: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int f(x) dx = \frac{1}{2} \ln|x^2 - 4| + \frac{1}{2} (\ln(x + 1))^2 + C}$$