Matrices que conmutan con una matriz dada

**Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, hallar todas las matrices $B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ que conmutan con $A$, es decir que cumplen $AB = BA$.** Para que dos matrices conmuten, el resultado de multiplicarlas en ambos órdenes debe ser el mismo. Comenzamos calculando el producto $A \cdot B$: $$AB = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ Realizamos la multiplicación fila por columna: - Primera fila: $(3 \cdot a + 1 \cdot c)$ y $(3 \cdot b + 1 \cdot d)$ - Segunda fila: $(1 \cdot a + 0 \cdot c)$ y $(1 \cdot b + 0 \cdot d)$ $$AB = \begin{pmatrix} 3a + c & 3b + d \\ a & b \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, multiplicas los elementos de la fila de la primera matriz por los de la columna de la segunda y sumas los resultados.

Ahora calculamos el producto $B \cdot A$ manteniendo el orden correspondiente: $$BA = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Realizamos la multiplicación fila por columna: - Primera fila: $(a \cdot 3 + b \cdot 1)$ y $(a \cdot 1 + b \cdot 0)$ - Segunda fila: $(c \cdot 3 + d \cdot 1)$ y $(c \cdot 1 + d \cdot 0)$ $$BA = \begin{pmatrix} 3a + b & a \\ 3c + d & c \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En general, el producto de matrices no es conmutativo ($AB \neq BA$). En este ejercicio buscamos precisamente los casos particulares donde sí se cumple la igualdad.

Para que $AB = BA$, todos los elementos correspondientes de ambas matrices resultantes deben ser iguales. Igualamos término a término: 1) $3a + c = 3a + b \implies c = b$ 2) $3b + d = a \implies a = 3b + d$ 3) $a = 3c + d$ 4) $b = c$ Observamos que las ecuaciones (1) y (4) nos dan la misma información: **$c = b$**. Sustituyendo $c = b$ en la ecuación (3), obtenemos $a = 3b + d$, que es idéntica a la ecuación (2). Por tanto, el sistema depende de dos parámetros libres ($b$ y $d$).

A partir de las relaciones obtenidas: - $c = b$ - $a = 3b + d$ Podemos expresar todos los elementos de la matriz $B$ en función de $b$ y $d$, donde $b, d \in \mathbb{R}$. La matriz $B$ tendrá la forma: $$B = \begin{pmatrix} 3b + d & b \\ b & d \end{pmatrix}$$ Podemos comprobar que cualquier matriz con esta estructura cumple la condición. Por ejemplo, si $b=1$ y $d=0$, $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = A$, y sabemos que toda matriz conmuta consigo misma. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{B = \begin{pmatrix} 3b + d & b \\ b & d \end{pmatrix} \quad \forall b, d \in \mathbb{R}}$$