Cálculo de determinantes mediante propiedades

**a)(1 punto) Sabiendo que $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 3$ calcula el valor del determinante: $\begin{vmatrix} 2a - 2b & c & 5b \\ 2d - 2e & f & 5e \\ -2 & 3 & 10 \end{vmatrix}$** En primer lugar, observamos que en la primera columna podemos extraer el factor común $2$ y en la tercera columna el factor común $5$. Utilizamos la propiedad: *Si todos los elementos de una línea (fila o columna) de un determinante se multiplican por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número*. $$\begin{vmatrix} 2(a - b) & c & 5b \\ 2(d - e) & f & 5e \\ 2(-1) & 3 & 5(2) \end{vmatrix} = 2 \cdot 5 \cdot \begin{vmatrix} a - b & c & b \\ d - e & f & e \\ -1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 10 \cdot \begin{vmatrix} a - b & c & b \\ d - e & f & e \\ -1 & 3 & 2 \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Extraer factores comunes simplifica mucho los cálculos y nos permite acercarnos a la forma del determinante que ya conocemos.

Para eliminar los términos restados en la primera columna ($C_1$), aplicamos la siguiente propiedad: *El valor de un determinante no varía si a una línea se le suma otra paralela multiplicada por un número*. En este caso, sumamos la tercera columna a la primera ($C_1 \to C_1 + C_3$): $$10 \cdot \begin{vmatrix} a - b + b & c & b \\ d - e + e & f & e \\ -1 + 2 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 10 \cdot \begin{vmatrix} a & c & b \\ d & f & e \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix}$$ Ahora los elementos de las columnas son los mismos que el determinante original, pero están en distinto orden.

Para obtener el determinante original, debemos intercambiar la segunda columna ($C_2$) con la tercera ($C_3$). Recordamos la propiedad: *Si se intercambian entre sí dos líneas paralelas de un determinante, este cambia de signo*. $$10 \cdot \begin{vmatrix} a & c & b \\ d & f & e \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = -10 \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$$ Como sabemos por el enunciado que el valor del determinante original es $3$: $$-10 \cdot (3) = -30$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{-30}$$

**b)(1 punto) Sabiendo que $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 3$ calcula el valor del determinante: $\begin{vmatrix} a - 1 & b - 2 & 2c - 6 \\ 2 & 4 & 12 \\ d & e & 2f \end{vmatrix}$** Observamos la segunda fila ($R_2$) y la tercera columna ($C_3$) para extraer factores comunes. 1. De la segunda fila extraemos el factor $2$. 2. De la tercera columna resultante, podemos extraer otro factor $2$. $$\begin{vmatrix} a - 1 & b - 2 & 2(c - 3) \\ 2(1) & 2(2) & 2(6) \\ d & e & 2f \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} a - 1 & b - 2 & 2(c - 3) \\ 1 & 2 & 6 \\ d & e & 2f \end{vmatrix}$$ Ahora, de la tercera columna del nuevo determinante, extraemos el factor $2$: $$2 \cdot 2 \cdot \begin{vmatrix} a - 1 & b - 2 & c - 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ d & e & f \end{vmatrix} = 4 \cdot \begin{vmatrix} a - 1 & b - 2 & c - 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ d & e & f \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que puedes extraer factores tanto de filas como de columnas de forma independiente.

Para simplificar la primera fila ($R_1$), sumamos la segunda fila a la primera ($R_1 \to R_1 + R_2$): $$4 \cdot \begin{vmatrix} a - 1 + 1 & b - 2 + 2 & c - 3 + 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ d & e & f \end{vmatrix} = 4 \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ 1 & 2 & 3 \\ d & e & f \end{vmatrix}$$ Ya tenemos los elementos correctos, pero las filas están desordenadas respecto al dato inicial.

Necesitamos que la fila $(1, 2, 3)$ sea la tercera y la fila $(d, e, f)$ sea la segunda. Para ello, intercambiamos la segunda fila ($R_2$) con la tercera ($R_3$), lo que provoca un cambio de signo en el determinante: $$4 \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ 1 & 2 & 3 \\ d & e & f \end{vmatrix} = -4 \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$$ Sustituyendo el valor del determinante conocido ($3$): $$-4 \cdot (3) = -12$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{-12}$$