Geometría: Intersección de planos, rectas y simetría

**a) (1 punto) Calcular los valores de $m$ para los que los tres planos se cortan en una recta.** Tres planos se cortan en una recta si el sistema formado por sus ecuaciones es un **Sistema Compatible Indeterminado** con un grado de libertad (rango 2). Escribimos el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} x - z = 0 \\ my - 6z = 0 \\ x + y - mz = 0 \end{cases}$$ Se trata de un sistema homogéneo, por lo que siempre es compatible. Para que la solución sea una recta, el rango de la matriz de coeficientes $A$ debe ser 2. $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & -6 \\ 1 & 1 & -m \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En un sistema de 3 planos, si $rg(A)=2$ y el sistema es compatible, los planos se cortan en una recta o dos son paralelos y el tercero los corta (o son coincidentes). Aquí, al ser homogéneo, todos pasan por el origen $(0,0,0)$.

Para que $rg(A) = 2$, el determinante de $A$ debe ser cero. Calculamos $|A|$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & -6 \\ 1 & 1 & -m \end{vmatrix} = [1 \cdot m \cdot (-m) + 0 \cdot (-6) \cdot 1 + (-1) \cdot 0 \cdot 1] - [(-1) \cdot m \cdot 1 + 0 \cdot 0 \cdot (-m) + 1 \cdot 1 \cdot (-6)]$$ $$|A| = -m^2 - (-m - 6) = -m^2 + m + 6$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $m$: $$-m^2 + m + 6 = 0 \implies m^2 - m - 6 = 0$$ Resolviendo la ecuación de segundo grado: $$m = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}$$ Esto nos da dos posibles valores: **$m = 3$** y **$m = -2$**. Para estos valores, el rango es 2 porque existe al menos un menor de orden 2 no nulo (por ejemplo, el formado por las dos primeras filas y columnas si $m \neq 0$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 3, \quad m = -2}$$

**b) (1 punto) Para $m = 3$, hallar la ecuación del plano que contiene al punto $P$ y es perpendicular a la recta de intersección de los planos $\pi_1$ y $\pi_2$.** Si el plano buscado es perpendicular a la recta $r = \pi_1 \cap \pi_2$, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ será el vector normal del plano $\vec{n}_{\pi}$. Obtenemos $\vec{v}_r$ mediante el producto vectorial de los vectores normales de $\pi_1$ y $\pi_2$: $$\vec{n}_1 = (1, 0, -1), \quad \vec{n}_2 = (0, 3, -6)$$ $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & -6 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{v}_r = (0 - (-3))\vec{i} - (-6 - 0)\vec{j} + (3 - 0)\vec{k} = 3\vec{i} + 6\vec{j} + 3\vec{k} = (3, 6, 3)$$ Podemos simplificar el vector director usando $\vec{n}_{\pi} = (1, 2, 1)$. 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida por dos planos es el producto vectorial de sus vectores normales.

La ecuación del plano con vector normal $\vec{n}_{\pi} = (1, 2, 1)$ es: $$1x + 2y + 1z + D = 0$$ Como el plano contiene al punto $P(-1, -1, 1)$, sustituimos sus coordenadas para hallar $D$: $$1(-1) + 2(-1) + 1(1) + D = 0$$ $$-1 - 2 + 1 + D = 0 \implies D = 2$$ La ecuación del plano es $x + 2y + z + 2 = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + 2y + z + 2 = 0}$$

**c) (1 punto) Hallar la distancia entre los puntos $Q$ y $P'$, siendo $P'$ el punto simétrico de $P$ respecto al plano $\pi_1$.** Para hallar el simétrico $P'$ de $P(-1, -1, 1)$ respecto a $\pi_1: x - z = 0$: 1. Definimos una recta $s$ que pase por $P$ y sea perpendicular a $\pi_1$. El vector director de $s$ es el normal de $\pi_1$, $\vec{n}_1 = (1, 0, -1)$. $$s \equiv \begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = -1 \\ z = 1 - \lambda \end{cases}$$ 2. Hallamos el punto de intersección $M$ entre la recta $s$ y el plano $\pi_1$. Sustituimos las coordenadas de la recta en la ecuación del plano: $$(-1 + \lambda) - (1 - \lambda) = 0$$ $$-1 + \lambda - 1 + \lambda = 0 \implies 2\lambda = 2 \implies \lambda = 1$$ Sustituyendo $\lambda = 1$ en $s$, obtenemos el punto de proyección $M$: $$M = (-1 + 1, -1, 1 - 1) = (0, -1, 0)$$ 💡 **Tip:** El punto $M$ (proyección ortogonal) es el punto medio entre $P$ y su simétrico $P'$.

Como $M$ es el punto medio del segmento $PP'$, se cumple: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Calculamos las coordenadas de $P'$: $$P' = 2(0, -1, 0) - (-1, -1, 1) = (0, -2, 0) + (1, 1, -1) = (1, -1, -1)$$ Finalmente, calculamos la distancia entre $Q(1, 0, 2)$ y $P'(1, -1, -1)$: $$d(Q, P') = |\vec{QP'}| = \sqrt{(1 - 1)^2 + (-1 - 0)^2 + (-1 - 2)^2}$$ $$d(Q, P') = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{0 + 1 + 9} = \sqrt{10}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(Q, P') = \sqrt{10} \text{ unidades}}$$