Continuidad, derivabilidad e integración de una función definida a trozos

**a) (1 punto) Calcular el valor de $a$ para que $f(x)$ sea continua en todo $\mathbb{R}$.** Para que la función sea continua en todo $\mathbb{R}$, debemos analizar primero sus ramas: 1. Si $x \lt 0$, $f(x) = x^2 e^x$, que es continua por ser producto de un polinomio y una exponencial. 2. Si $x \gt 0$, $f(x) = a + x \ln(x)$, que es continua para $x \in (0, +\infty)$ por ser suma de una constante y un producto de funciones continuas en ese intervalo. El único punto donde la continuidad podría verse comprometida es en el punto de cambio de rama, $x = 0$. Para que sea continua en $x = 0$, se debe cumplir que los límites laterales coincidan con el valor de la función: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$

Calculamos el límite por la izquierda y el valor de la función: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = 0^2 \cdot e^0 = 0 \cdot 1 = 0.$$ Calculamos el límite por la derecha: $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (a + x \ln(x)) = a + \lim_{x \to 0^+} x \ln(x).$$ El límite $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x)$ presenta una indeterminación del tipo $0 \cdot (-\infty)$. Para resolverla, reescribimos la expresión y aplicamos la **regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{1/x} = \left[ \frac{-\infty}{\infty} \right] \stackrel{L'H}{=} \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0.$$ Por tanto: $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = a + 0 = a.$$ 💡 **Tip:** Para aplicar L'Hôpital, la indeterminación debe ser $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Transformamos $0 \cdot \infty$ bajando un término al denominador como su recíproco.

Para que la función sea continua, igualamos los resultados de los límites laterales: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) \implies 0 = a.$$ ✅ **Resultado (valor de a):** $$\boxed{a = 0}$$ Con este valor, la función queda definida como: $$f(x) = \begin{cases} x \ln(x) & \text{si } x \gt 0, \\ x^2 e^x & \text{si } x \le 0. \end{cases}$$

**b) (1 punto) Calcular $f'(x)$ donde sea posible.** Derivamos cada rama de la función de forma independiente para $x \neq 0$: 1. Para $x \lt 0$, usamos la regla del producto en $f(x) = x^2 e^x$: $$f'(x) = (2x)e^x + x^2(e^x) = (x^2 + 2x)e^x.$$ 2. Para $x \gt 0$, derivamos $f(x) = x \ln(x)$ (ya que $a=0$): $$f'(x) = (1)\ln(x) + x\left(\frac{1}{x}\right) = \ln(x) + 1.$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla del producto: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Para ver si es derivable en $x = 0$, calculamos los límites de la derivada (derivadas laterales): - Por la izquierda: $$\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} (x^2 + 2x)e^x = (0 + 0)e^0 = 0.$$ - Por la derecha: $$\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} (\ln(x) + 1) = -\infty + 1 = -\infty.$$ Como los límites laterales no coinciden (uno de ellos es infinito), la función **no es derivable en $x = 0$**. ✅ **Resultado (función derivada):** $$\boxed{f'(x) = \begin{cases} (x^2 + 2x)e^x & \text{si } x \lt 0, \\ \ln(x) + 1 & \text{si } x \gt 0. \end{cases}}$$

**c) (1 punto) Calcular $\int_{-1}^{0} f(x) dx$.** En el intervalo $[-1, 0]$, la función está definida por la rama $f(x) = x^2 e^x$. Por tanto, debemos calcular: $$I = \int_{-1}^{0} x^2 e^x dx.$$ Resolveremos primero la integral indefinida $\int x^2 e^x dx$ mediante el método de **integración por partes** aplicado dos veces. 💡 **Tip:** Usamos la regla mnemotécnica ALPES para elegir $u$. En este caso, la función polinómica $x^2$ va antes que la exponencial $e^x$. Formula: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Elegimos: - $u = x^2 \implies du = 2x \, dx$ - $dv = e^x \, dx \implies v = e^x$ Aplicando la fórmula: $$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx.$$ Ahora aplicamos de nuevo el método a la integral $\int 2x e^x dx$: - $u = 2x \implies du = 2 \, dx$ - $dv = e^x \, dx \implies v = e^x$ $$\int 2x e^x dx = 2x e^x - \int 2 e^x dx = 2x e^x - 2e^x.$$ Combinando ambos resultados: $$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2e^x) = (x^2 - 2x + 2)e^x + C.$$

Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** para la integral definida en el intervalo $[-1, 0]$: $$I = \left[ (x^2 - 2x + 2)e^x \right]_{-1}^{0}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=0$): $$(0^2 - 2(0) + 2)e^0 = 2 \cdot 1 = 2.$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=-1$): $$((-1)^2 - 2(-1) + 2)e^{-1} = (1 + 2 + 2)e^{-1} = 5e^{-1} = \frac{5}{e}.$$ Restamos ambos valores: $$I = 2 - \frac{5}{e}$$ ✅ **Resultado (integral):** $$\boxed{\int_{-1}^{0} f(x) dx = 2 - \frac{5}{e}}$$