Integral definida y límites al infinito

**a) (1 punto) Calcular la integral definida $\int_{1}^{4} (1 - x)e^{-x} dx$.** Para resolver la integral definida, primero calculamos la integral indefinida asociada $\int (1-x)e^{-x} dx$ utilizando el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una buena elección para $u$ suelen ser las funciones polinómicas. Elegimos las partes de la siguiente forma: - $u = 1 - x \implies du = -dx$ - $dv = e^{-x} dx \implies v = \int e^{-x} dx = -e^{-x}$

Aplicamos la fórmula de integración por partes con las variables elegidas: $$\int (1-x)e^{-x} dx = (1-x)(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})(-dx)$$ $$\int (1-x)e^{-x} dx = -(1-x)e^{-x} - \int e^{-x} dx$$ Resolvemos la integral restante: $$\int (1-x)e^{-x} dx = (x-1)e^{-x} - (-e^{-x}) = (x-1)e^{-x} + e^{-x}$$ Simplificamos la expresión factorizando $e^{-x}$: $$(x-1+1)e^{-x} = xe^{-x}$$ Por tanto, una primitiva de la función es: $$\boxed{F(x) = xe^{-x}}$$

Para calcular la integral definida entre $1$ y $4$, aplicamos la **Regla de Barrow** utilizando la primitiva hallada: 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$. $$\int_{1}^{4} (1 - x)e^{-x} dx = [xe^{-x}]_1^4$$ Evaluamos en los límites de integración: $$F(4) = 4e^{-4} = \frac{4}{e^4}$$ $$F(1) = 1e^{-1} = \frac{1}{e}$$ Restamos ambos valores: $$\int_{1}^{4} (1 - x)e^{-x} dx = \frac{4}{e^4} - \frac{1}{e} = \frac{4 - e^3}{e^4}$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{\int_{1}^{4} (1 - x)e^{-x} dx = \frac{4}{e^4} - \frac{1}{e} \approx -0.0549}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=(1-x)e^{-x}", "color": "#2563eb" }, { "id": "area", "latex": "f(x) \\le y \\le 0 \\{1 \\le x \\le 4\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 6, "bottom": -1, "top": 1 } } }

**b) (1 punto) Calcular $\lim_{x \to +\infty} (1 - x)e^{-x}$ y $\lim_{x \to -\infty} (1 - x)e^{-x}$.** Primero, calculamos el límite cuando $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} (1 - x)e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - x}{e^x}$$ Al evaluar, obtenemos una indeterminación del tipo $\left[\frac{-\infty}{\infty}\right]$. Aplicamos la **Regla de L'Hôpital**: 💡 **Tip:** La Regla de L'Hôpital permite resolver indeterminaciones $\frac{\infty}{\infty}$ derivando numerador y denominador por separado. $$\lim_{x \to +\infty} \frac{1 - x}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{d}{dx}(1 - x)}{\frac{d}{dx}(e^x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-1}{e^x}$$ Como el denominador tiende a infinito y el numerador es constante: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{-1}{e^x} = 0$$ ✅ **Resultado (Límite $+\infty$):** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} (1 - x)e^{-x} = 0}$$

Calculamos el límite cuando $x \to -\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} (1 - x)e^{-x}$$ Analizamos el comportamiento de cada factor por separado cuando $x$ tiende a $-\infty$: 1. El factor $(1 - x) \to (1 - (-\infty)) = +\infty$. 2. El factor $e^{-x} \to e^{-(-\infty)} = e^{+\infty} = +\infty$. El producto de dos funciones que tienden a $+\infty$ también tiende a $+\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} (1 - x)e^{-x} = [+\infty \cdot +\infty] = +\infty$$ ✅ **Resultado (Límite $-\infty$):** $$\boxed{\lim_{x \to -\infty} (1 - x)e^{-x} = +\infty}$$