Estudio de monotonía y raíces de un polinomio

**a) (0,5 puntos) Estudiar el crecimiento de la función $f(x) = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3$.** Para estudiar el crecimiento (monotonía), calculamos la primera derivada de la función: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(1 + 2x + 3x^2 + 4x^3) = 2 + 6x + 12x^2.$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$12x^2 + 6x + 2 = 0 \implies 6x^2 + 3x + 1 = 0.$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1}}{2 \cdot 6} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 24}}{12} = \frac{-3 \pm \sqrt{-15}}{12}.$$ Como el discriminante es negativo ($\Delta = -15 \lt 0$), la ecuación **no tiene soluciones reales**. Esto significa que $f'(x)$ no cambia de signo en todo su dominio ($\mathbb{R}$). 💡 **Tip:** Si una función polinómica no tiene puntos críticos, su derivada siempre tendrá el mismo signo, lo que implica que la función es siempre creciente o siempre decreciente.

Para determinar el signo de $f'(x) = 12x^2 + 6x + 2$, evaluamos en cualquier punto, por ejemplo $x = 0$: $$f'(0) = 2 \gt 0.$$ Dado que el coeficiente principal de la parábola de la derivada es positivo ($12 \gt 0$) y no tiene raíces, $f'(x)$ es siempre positiva. **Tabla de monotonía:** $$ \begin{array}{c|c} x & (-\infty, +\infty) \\ \hline f'(x) & + \\ f(x) & \text{Creciente } (\nearrow) \end{array} $$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } f(x) \text{ es estrictamente creciente en todo } \mathbb{R}}$$

**b) (1,5 puntos) Demostrar que la ecuación $1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 = 0$ tiene una única solución real y localizar un intervalo de longitud 1 que la contenga.** Primero demostramos la existencia de al menos una raíz usando el **Teorema de Bolzano** en un intervalo $[a, b]$ donde la función sea continua y cambie de signo. $f(x)$ es una función polinómica, por tanto es continua en todo $\mathbb{R}$. Probamos valores enteros cercanos al origen: - Para $x = 0$: $f(0) = 1 + 0 + 0 + 0 = 1 \gt 0$. - Para $x = -1$: $f(-1) = 1 + 2(-1) + 3(-1)^2 + 4(-1)^3 = 1 - 2 + 3 - 4 = -2 \lt 0$. Como $f(-1) \lt 0$ y $f(0) \gt 0$, por el Teorema de Bolzano existe al menos un valor $c \in (-1, 0)$ tal que $f(c) = 0$. 💡 **Tip:** El Teorema de Bolzano garantiza la existencia de una raíz si la función es continua en $[a, b]$ y $f(a) \cdot f(b) \lt 0$. ✅ **Localización del intervalo:** $$\boxed{I = (-1, 0)}$$

Para demostrar que la solución es **única**, utilizamos el resultado del apartado a). Hemos demostrado que $f'(x) \gt 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$, lo que significa que la función es **estrictamente creciente**. Si una función es estrictamente creciente, no puede tomar el mismo valor dos veces (es inyectiva). Por lo tanto, si cruza el eje $X$ en un punto, no puede volver a cruzarlo en ningún otro punto. Conclusión: Al ser continua, cambiar de signo en el intervalo $(-1, 0)$ y ser estrictamente creciente en todo su dominio, la ecuación $f(x) = 0$ tiene una **única solución real**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Existe una única solución en el intervalo } (-1, 0)}$$