Distancia entre rectas y perpendicularidad

**a) (2 puntos) Calcular $\lambda > 0$ para que la distancia entre $r$ y $s$ sea $\frac{9}{\sqrt{59}}$.** Extraemos los puntos y vectores directores de las rectas $r$ y $s$ dados en el enunciado: - Recta $r$: Punto $P(2, -1, 0)$ y vector director $\vec{v_r} = (1, \lambda, -2)$. - Recta $s$: Punto $Q(1, 0, -1)$ y vector director $\vec{v_s} = (2, 4, 2)$. También necesitaremos el vector $\vec{PQ}$ que une un punto de cada recta: $$\vec{PQ} = Q - P = (1 - 2, 0 - (-1), -1 - 0) = (-1, 1, -1).$$ 💡 **Tip:** La distancia entre dos rectas que se cruzan se calcula mediante el volumen del paralelepípedo formado por sus vectores directores y el vector que une sus puntos, dividido por el área de la base (módulo del producto vectorial).

Calculamos el producto vectorial $\vec{v_r} \times \vec{v_s}$ para determinar el denominador de la fórmula de la distancia: $$\vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & \lambda & -2 \\ 2 & 4 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos desarrollando por la primera fila: $$\vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \lambda & -2 \\ 4 & 2 \end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix} 1 & \lambda \\ 2 & 4 \end{vmatrix}\vec{k}$$ $$\vec{v_r} \times \vec{v_s} = (2\lambda - (-8))\vec{i} - (2 - (-4))\vec{j} + (4 - 2\lambda)\vec{k} = (2\lambda + 8, -6, 4 - 2\lambda).$$ Ahora calculamos su módulo: $$|\vec{v_r} \times \vec{v_s}| = \sqrt{(2\lambda + 8)^2 + (-6)^2 + (4 - 2\lambda)^2}$$ $$|\vec{v_r} \times \vec{v_s}| = \sqrt{4\lambda^2 + 32\lambda + 64 + 36 + 16 - 16\lambda + 4\lambda^2}$$ $$|\vec{v_r} \times \vec{v_s}| = \sqrt{8\lambda^2 + 16\lambda + 116}$$ $$\boxed{|\vec{v_r} \times \vec{v_s}| = \sqrt{8\lambda^2 + 16\lambda + 116}}$$

El numerador de la fórmula es el valor absoluto del producto mixto $[\vec{PQ}, \vec{v_r}, \vec{v_s}]$: $$[\vec{PQ}, \vec{v_r}, \vec{v_s}] = \begin{vmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 1 & \lambda & -2 \\ 2 & 4 & 2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$[\vec{PQ}, \vec{v_r}, \vec{v_s}] = (-2\lambda - 4 - 4) - (-2\lambda + 8 + 2)$$ $$[\vec{PQ}, \vec{v_r}, \vec{v_s}] = -2\lambda - 8 - (-2\lambda + 10) = -2\lambda - 8 + 2\lambda - 10 = -18.$$ El valor absoluto es: $$|[\vec{PQ}, \vec{v_r}, \vec{v_s}]| = |-18| = 18.$$

Utilizamos la fórmula de la distancia entre dos rectas: $$d(r, s) = \frac{|[\vec{PQ}, \vec{v_r}, \vec{v_s}]|}{|\vec{v_r} \times \vec{v_s}|}$$ Igualamos al valor dado $\frac{9}{\sqrt{59}}$: $$\frac{18}{\sqrt{8\lambda^2 + 16\lambda + 116}} = \frac{9}{\sqrt{59}}$$ Dividimos ambos numeradores entre 9 para simplificar: $$\frac{2}{\sqrt{8\lambda^2 + 16\lambda + 116}} = \frac{1}{\sqrt{59}}$$ Elevamos al cuadrado y multiplicamos en cruz: $$4 \cdot 59 = 8\lambda^2 + 16\lambda + 116$$ $$236 = 8\lambda^2 + 16\lambda + 116 \implies 8\lambda^2 + 16\lambda - 120 = 0.$$ Dividimos toda la ecuación entre 8: $$\lambda^2 + 2\lambda - 15 = 0.$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$\lambda = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-15)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 \pm 8}{2}$$ $$\lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = -5.$$ Como el enunciado impone la restricción $\lambda > 0$, la única solución válida es $\lambda = 3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lambda = 3}$$

**b) (1 punto) Calcular $\lambda$ para que $r$ sea perpendicular a la recta que pasa por $P$ y $Q$.** Sea $t$ la recta que pasa por $P$ y $Q$. Su vector director es el vector $\vec{PQ}$ que ya hemos calculado: $$\vec{v_t} = \vec{PQ} = (-1, 1, -1).$$ Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares, es decir, si su producto escalar es cero: $$\vec{v_r} \cdot \vec{v_t} = 0$$ $$(1, \lambda, -2) \cdot (-1, 1, -1) = 0$$ $$(1)(-1) + (\lambda)(1) + (-2)(-1) = 0$$ $$-1 + \lambda + 2 = 0 \implies \lambda + 1 = 0 \implies \lambda = -1.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. En este apartado no aplica la restricción $\lambda > 0$ del apartado anterior a menos que se indique lo contrario. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lambda = -1}$$