Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) (2 puntos) Discutirlo según los valores del parámetro $m$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} -m & m & 1 \\ 1 & -m & 3 \\ 2 & -2 & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -m & m & 1 & 0 \\ 1 & -m & 3 & 4 \\ 2 & -2 & -1 & 0 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, que relaciona el rango de estas matrices con el número de soluciones.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} -m & m & 1 \\ 1 & -m & 3 \\ 2 & -2 & -1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [(-m)(-m)(-1) + (m)(3)(2) + (1)(1)(-2)] - [ (2)(-m)(1) + (-2)(3)(-m) + (-1)(1)(m) ]$$ $$|A| = [-m^2 + 6m - 2] - [-2m + 6m - m] = -m^2 + 6m - 2 - 3m = -m^2 + 3m - 2$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $m$: $$-m^2 + 3m - 2 = 0 \implies m^2 - 3m + 2 = 0$$ Resolviendo la ecuación de segundo grado: $$m = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Esto nos da dos valores: **$m = 1$** y **$m = 2$**. 💡 **Tip:** El determinante nos indica cuándo el rango de $A$ es máximo. Si $|A| \neq 0$, el rango es 3.

Aplicamos el Teorema de Rouché-Frobenius analizando los valores obtenidos: **Caso 1: $m \neq 1$ y $m \neq 2$** Si $m$ es distinto de 1 y 2, entonces $|A| \neq 0$. Por tanto: $$\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n^\circ \text{ incógnitas}$$ El sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, con solución única. **Caso 2: $m = 1$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 4 \\ 2 & -2 & -1 & 0 \end{array}\right)$$ Sabemos que $\text{rg}(A) \lt 3$ porque $|A|=0$. Tomamos un menor de orden 2 en $A$: $\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = -1 - (-6) = 5 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$. Comprobamos el rango de $A^*$ con el término independiente: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 4 \\ -2 & -1 & 0 \end{vmatrix} = -4 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = -4 (-1 + 2) = -4 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 3$$ Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es **Sistema Incompatible (SI)**. **Caso 3: $m = 2$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 3 & 4 \\ 2 & -2 & -1 & 0 \end{array}\right)$$ Observamos que la fila 3 es opuesta a la fila 1 ($F_3 = -F_1$), por lo que podemos eliminarla. El rango de $A$ es 2 (ya que $\begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 4-2=2 \neq 0$). Al ser $F_3$ dependiente también en $A^*$, $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$, el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado discusión:** $$\boxed{\begin{cases} m \in \mathbb{R} \setminus \{1, 2\} \implies \text{SCD} \\ m = 1 \implies \text{SI} \\ m = 2 \implies \text{SCI} \end{cases}}$$

**b) (0,5 puntos) Resolverlo en el caso $m = 0$.** Sustituimos $m = 0$ en el sistema original: $$\begin{cases} -0x + 0y + z = 0 \\ x - 0y + 3z = 4 \\ 2x - 2y - z = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} z = 0 \\ x + 3z = 4 \\ 2x - 2y - z = 0 \end{cases}$$ 1. De la primera ecuación: **$z = 0$**. 2. Sustituimos $z=0$ en la segunda: $x + 3(0) = 4 \implies$ **$x = 4$**. 3. Sustituimos $x=4$ y $z=0$ en la tercera: $$2(4) - 2y - 0 = 0 \implies 8 - 2y = 0 \implies 2y = 8 \implies y = 4$$ ✅ **Resultado para $m=0$:** $$\boxed{x = 4, y = 4, z = 0}$$

**c) (0,5 puntos) Resolverlo en el caso $m = 2$.** Como vimos en el apartado a), para $m=2$ el sistema es SCI y la tercera ecuación es redundante ($F_3 = -F_1$). Usamos las dos primeras: $$\begin{cases} -2x + 2y + z = 0 \\ x - 2y + 3z = 4 \end{cases}$$ Parametrizamos haciendo **$z = \lambda$**: $$\begin{cases} -2x + 2y = -\lambda \\ x - 2y = 4 - 3\lambda \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones para eliminar la $y$: $$(-2x + x) + (2y - 2y) = -\lambda + 4 - 3\lambda$$ $$-x = 4 - 4\lambda \implies x = 4\lambda - 4$$ Ahora despejamos $y$ de la segunda ecuación: $$2y = x - 4 + 3\lambda = (4\lambda - 4) - 4 + 3\lambda = 7\lambda - 8$$ $$y = \frac{7}{2}\lambda - 4$$ ✅ **Resultado para $m=2$:** $$\boxed{(x, y, z) = (4\lambda - 4, \frac{7}{2}\lambda - 4, \lambda) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$