Integral indefinida por partes (cíclica)

Para resolver la integral $\int e^{2x+1} \cos x dx$, observamos que se trata de un producto de una función exponencial por una función trigonométrica. Este tipo de integrales suelen resolverse mediante el método de **integración por partes**. Al ser una integral donde ambas funciones se reproducen al derivar o integrar, nos encontraremos ante una **integral cíclica**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla mnemotécnica común es "Un Día Vi Una Vaca Sin rabo Vestida De Uniforme".

Llamamos $I = \int e^{2x+1} \cos x dx$. Elegimos las partes de la siguiente manera: - $u = e^{2x+1} \implies du = 2e^{2x+1} dx$ - $dv = \cos x \, dx \implies v = \sin x$ Aplicando la fórmula: $$I = e^{2x+1} \sin x - \int 2e^{2x+1} \sin x dx$$ $$I = e^{2x+1} \sin x - 2 \int e^{2x+1} \sin x dx$$ 💡 **Tip:** Al derivar $e^{2x+1}$, no olvides aplicar la regla de la cadena: $(e^{f(x)})' = f'(x)e^{f(x)}$.

Ahora debemos resolver la nueva integral $J = \int e^{2x+1} \sin x dx$. Es fundamental mantener la misma elección de tipos de funciones para $u$ y $dv$ que en el paso anterior (exponencial para $u$ y trigonométrica para $dv$) para evitar volver al punto de partida de forma trivial. - $u = e^{2x+1} \implies du = 2e^{2x+1} dx$ - $dv = \sin x \, dx \implies v = -\cos x$ Aplicamos de nuevo la fórmula a $J$: $$J = e^{2x+1} (-\cos x) - \int (-\cos x) 2e^{2x+1} dx$$ $$J = -e^{2x+1} \cos x + 2 \int e^{2x+1} \cos x dx$$ Observemos que la integral que aparece en $J$ es precisamente nuestra integral original $I$: $$J = -e^{2x+1} \cos x + 2I$$

Sustituimos la expresión de $J$ en la ecuación obtenida en el Paso 2: $$I = e^{2x+1} \sin x - 2 \left( -e^{2x+1} \cos x + 2I \right)$$ Desarrollamos el paréntesis: $$I = e^{2x+1} \sin x + 2e^{2x+1} \cos x - 4I$$ Agrupamos los términos con $I$ en el primer miembro de la ecuación: $$I + 4I = e^{2x+1} \sin x + 2e^{2x+1} \cos x$$ $$5I = e^{2x+1} (\sin x + 2\cos x)$$ Finalmente, despejamos $I$ y añadimos la constante de integración $C$: $$I = \frac{e^{2x+1} (\sin x + 2\cos x)}{5} + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int e^{2x+1} \cos x dx = \frac{e^{2x+1}(\sin x + 2\cos x)}{5} + C}$$